第13章 思想钢印和自由意志——人类有自由意志吗？（下）

阅读这一部分非常需要脑力，所以我分成几节。第一节介绍量子论的非决定论，有点逻辑训练的人可以看下去。第二节介绍CK自由意志定理的证明，有物理背景的人可以看下去。只想了解自由意志定理哲学推论的人请直接跳到第三节。

量子论的非决定论

前面我们提到约翰•康威和科亨自由意志定理，下面我们将严格表述自由意志定理及其证明。

在进入正题之前，我们先谈一下量子论否定决定论的历史。

大家都知道，在量子力学诞生之后（1925-1926），物理学界就我们的世界是否为决定论所统治的争论和研究进行了很多年。量子论真正否定了决定论大约是在1967年，而并不像我们想象的那样从一开始就否定了决定论。在量子论中，一切由所谓波函数决定，波函数的演化是决定论的。但波函数本身是不可观测的，波函数只会告诉我们测量可能得到的结果。例如，描述一个电子的波函数是电子位置的函数（忽略它的自旋），它告诉我们任意时刻测量到这个电子在某一个位置的概率。

电子位置的不确定引起了决定论者爱因斯坦的不安，他说过一句名言，上帝不会掷骰子。这句话的意思是，上帝做一件事不会用掷骰子来选择。就此他和玻尔之间进行了很长时间的辩论，每一次，爱因斯坦都会设计一个非常精巧的思想实验；每一次，玻尔长时间考虑后之后都会予以反驳。这两位都是量子论的开创者，但爱因斯坦对非决定论持保守态度，而玻尔在这方面则非常开放，他甚至提出了互补原理。互补原理说，世界上一切系统都有两面，这两面看上去互相矛盾，却缺一不可。而类似互补原理，量子力学的发现者之一海森堡则提出了测不准原理，测不准原理具体应用在电子上就是，我们不可能同时测准位置和速度，这和我们对粒子的经典概念完全不同。也就是说，粒子的轨道概念是不存在的。

虽然量子力学有严格的数学表述，但如何解释量子力学的结果却各不相同。其实，玻尔和海森堡之间也有微妙的意见不合。虽然他们彼此不完全同意对方，但他们对测量微观粒子——如电子——有一个看法类似：我们对电子的测量不可避免地影响了电子，所以，电子的位置或速度是测不准的。

如果是这样，那么寻常人会认为，也许世界还是决定论的，只不过我们在测量电子时，测量过程导致了不确定性。如果我了解了测量过程，则世界还是决定论的。

但是，对测量的现代理解是纠缠理论。这个理论大致说，测量仪器的状态和电子的状态是严格关联的。例如，我们将电子打在荧光屏上，荧光屏某一个点亮了，说明电子出现在这个位置。纠缠理论是这样解释的：电子的位置和荧光屏某一点亮了的状态是纠缠在一起的。但是，在电子打在荧光屏上之前，我们不能完全预言哪一点会亮。纠缠的解释告诉我们测量过程不是决定论的。

量子论最难懂的地方是它的两个完全不同的元素。第一个元素是决定论的，即波函数演化遵守决定论方程；第二个元素是非决定论的，即测量过程。波函数演化是可逆过程，测量过程是不可逆过程。测量过程是如此不可思议，导致后来出现多种派别的解释：简单的概率解释、退相干理论、多世界理论、退相干历史理论，等等。

不要管那些解释，我们继续追问，微观世界真的是非决定论的吗？在爱因斯坦看来，量子论是不完备理论，一定有什么我们不知道的东西存在，当这些不知道的东西（就像中国人常说的，冥冥之中）被知道了，世界就会恢复秩序，重新变成决定论的。追随爱因斯坦观点的是著名犹太物理学家大卫•玻姆，他在20世纪50年代假定，任何一个物理系统，或者整个宇宙，都含有一些不为人知的隐变量——隐藏的“现实”，如果将这些隐变量包含进来，我们不仅可以重构量子论，还能恢复决定论的尊严。虽然后来冯•诺依曼证明了隐变量理论不可能与量子论完全一样，但玻姆的隐变量是非局域的，这样可能避开冯•诺依曼的定理。

20世纪60年代，物理学家的两个独立研究证明隐变量与量子论不合。当然，这些理论工作需要实验去验证。后来的实验证明，量子论是正确的，隐变量的决定论是错误的。

这两件工作分别是贝尔证明的不等式，即贝尔不等式以及科亨-施佩克尔定理。

贝尔不等式非常著名，因为它不仅涉及爱因斯坦相信的物体的“客观实在”，也涉及局域性。如果实验证实这个不等式成立，则爱因斯坦是对的；如果实验结果不遵守这个不等式，那么量子论是对的。不是“客观实在”有问题，就是这个世界本来就没有局域性。贝尔的研究完成于1964年，实验证实不等式被破坏是1987年。到了1999年，实验破坏不等式的置信度已经高到不可思议的地步。贝尔的工作否定了局域隐变量的存在。也就是说，下图13-1中的A→B→C的演化过程是“冥冥”理论解释不了的。

图13-1单粒子——或者扩大想象，宇宙——的演化史，粒子从位置A经过波函数演化再通过测量到达B，在测量之前，粒子可以在圆里面的任何一个地方，测量瞬间将整个圆缩小到一个点B;其演化，然后测量到达C。ABC的演化途後是非决定论的，没有隐变量可以解释。

另一个研究是科亨-施佩克尔定理（简称KS定理），KS定理发表于1967年（这是一个神一样的年份，温伯格在这一年提出了弱电统一理论，库布里克在这一年拍摄了《2001:太空漫游》）。由于自由意志定理的证明过程用到了KS定理，下一节我们先描述一下KS定理的一个表述，略去证明，然后证明CK自由意志定理。

最后，在我看来，CK自由意志定理排除了决定论取代量子论的最后一根稻草——非局域隐变数理论。就是说，在我们对一个粒子进行测量时，测量的结果不仅与过去所有发生的事件无关，也与任何隐藏的“现实”无关。也就是说，所谓冥冥之中原本是多余的假设。

KS定理

KS定理有时又叫贝尔-科亨-施佩克尔定理，据说，贝尔在证明他的不等式之前就证明了KS定理，遗憾的是他的论文被编辑放在桌子上遗忘了两年。

KS定理是一个严格的量子力学定理，为了多数读者，我们先作一个形象化的描述，然后再作一个严格的描述，然后再给出原始KS定理的描述。多数读者只需要阅读这个形象化的描述。

KS定理的形象化描述

在正立方体上，先选出每个边的中点，因为有12个边，这样就有12个中点。连接每个中点与立方体-内的中心，得到12个方向，这些方向中每两个方向互反，所以只有6条独立的线。

接下来，在立方体的每一个面上画内接圆，在每个内接圆上找出9个点，这9个点是这个圆的内接正方形的4个顶点加上4个边中点以及1个中心点，如图13-2。

图13-2。

然后，连接这9个点和立方体的中心点，我们得到9个方向。考虑到对6个面都这么做，一共有54个方向，加上前面的12个方向，我们一共就得到66个方向，同时，我们也有66个点。

现在，我们为这些点标上颜色。你只有两种颜色，红与黑。但是，你不能随便上颜色，必须满足下面的两个条件：

1.任何两个平行的方向，即两个对径点，必须上同一种颜色。

2.任何三个垂直的方向上的点，必须是两黑一红，如图13-3所示。

图13-3

KS定理：按照以上两个规则将66个点染色是不可能的。也就是说，在我们染色的过程中，我们会发现在染某一个点时，它的方向与已经染好的两个点垂直，所以它的颜色被这两个点固定了（例如另外两个点一黑一红，那么它必须是黑的），但同时因与另两个点垂直又必须染另一种颜色（例如另两个点都是黑的，所以这个点必须染红色）。

从上面的描述来看，KS定理是一条数学定理，但其实它是物理定理。对物理描述不感兴趣的人可直接跳过下一段。

KS定理的物理表述

我们知道，一个自旋为1的粒子，在任何一个方向测量它的自旋时，会给我们三个可能的数值（1，-1，0）。学过量子论的也知道，我们不能同时在两个垂直的方向测准这个粒子的自旋，因为角动量分量不对易。但是，很多物理学家不知道，对于自旋为1的粒子，自旋分量的平方之间是互相对易的，也就是说，如果我们选择同时（当然也可以不同时）测这个粒子在三个互相垂直的方向的自旋的平方（也就是仅仅测是否有自旋，如果有，不区别自旋的正负即绝对方向），是可以测准的。而且，这些自旋平方只能取值为两个1和一个0。

KS定理就是，在图13-2中的66个点上，不存在一个函数，叫（1，1，0）函数，它在每个点上的取值为1或者0，两个相对方向上的取值相同，在三个互相垂直方向上的取值有两个1和一个0。

也就是说，如果我是一位实验物理学家，我选择在以上66个方向上（只有33个是独立的）任选三个互相垂直的方向上测量这个粒子的自旋平方，我当然会获得（1，1，0）或者这个排序的任意置换的结果，但是这些结果不会是一个事先给定的函数决定的，因为不存在这么一个函数。作为熟悉量子力学的人，我们一点也不奇怪，因为每次测量的结果本来就不确定，当然这种测量不会是一个事先给定的函数决定的。

在某种意义上，KS定理排除了隐变量的存在。因为假如存在隐变量，那么这样的测量结果是隐变量（“冥冥”之中）决定的。貌似，我们已经有了自由意志定理：作为测量者，如果我在66个方向上随意选择三个垂直方向的自由，那么，结果不能由某个事先定好的函数决定。但是，这里有一个漏洞：因为是对三个量同时测量，三个量其实对应于三个函数，直到差不多40年后，才由康威和科亨给出一个新定理。

原始KS定理

对具体物理没有兴趣的人，我还是强烈建议跳过这一段。

原始的KS定理是针对一个具有三维或三维以上希尔伯特空间的量子力学系统的。自旋为1的粒子自然提供了一个最简单的例子，它的希尔伯特空间正好是三维的。在冯•诺依曼的排除隐变量的证明中，他用到了投影算子。一个投影算子就是将希尔伯特空间中任何一个向量投影到某个方向上。所以，这个投影算子的本征值或为0，或为1（排除-1）。科亨和施佩克尔构造了117个这样的投影算子，并且证明，不能在满足量子力学要求的情况下让它们取0或1。

前面其实是将KS定理约化到33个算子（66个方向只有33个是独立的）。如果希尔伯特空间是四维的，这个证明还可以简化到只用18个算子。

经过以上的准备，我们终于可以证明CK自由意志定理了。

CK自由意志定理的直观描述和证明

我们考虑这样的一个情况，有两个实验者，小涟和小清。他们约好一起做一个实验，实验的安排就是观测前面那66个点的颜色。

小涟留在地球上做实验，他手里有这么一个立方体，上面有66个点。在他观测之前，他不知道这66个点的颜色，其实，在他做观测之前，这些点也没有颜色。

小清跑到火星上做这个实验。为什么要跑到火星上去？因为火星到地球的最近距离是三光分，光至少要跑三分钟。所以，小涟和小清可以事先约好一起做实验，但由于光要跑三分钟，他们之间就不会存在因果联系。也因为据说人作出决定需要十分之一秒的时间，所以在这段时间中，不会存在“冥冥”之中的因果关系，因为我们将假设信号的传播不超过光速。

好了，小涟留在地球上，手里有一个立方体，上面有66个点，小清跑到火星上去手里也有一个一模一样的立方体，上面也有66个点。

这两个立方体是在一起造出来的。它们之间有一个奇妙的联系：如果一个立方体上的一个点出现黑色，那么另一个立方体上对应的那个点也出现黑色。类似的，两个立方体上面的对应点也会同时出现红色。这个性质，叫作纠缠。CK称之为双子公理。这个公理确实可以用基本粒子实现，尽管两个立方体（基本粒子）一个在地球，另一个在火星，但它们仍会以这种方式奇怪地纠缠在一起。

现在，在地球上的小涟和在火星上的小清约好同时做实验（他们都有一个对好时间的钟，准确到秒，由于地球和火星相距超过三光分，因此他们做同步实验的时候，不可能给对方发送信号）。

另外，我们假设小涟和小清有自由意志。

在地球上，小涟在66个点中随意选择三个方向互相垂直的点，按照前面规定的规则，他看到的是，这三个点将有两个呈现黑色，一个呈现红色。

我们假设决定论对这些点是成立的，那么，这些点呈现什么颜色将是过去历史的函数，不论是我们可以知道的历史，还是我们不可能知道的历史（隐变量）。

在火星上，小清只看一个点，她看到的这个点可以呈现红色，也可以呈现黑色。是什么颜色，也是冥冥之中注定的，也就是说，是我们知道和不知道的历史的函数。

但是，我们已经知道，小涟和小清的立方体是纠缠在一起的，如果小清看的那个点是小涟看的那三个点之一，那么它的颜色必须和小涟看到的那个点的颜色是一模一样的。

这样，小清手里的立方体上的66个点会有这样的性质：在小清观测的那一刻，它们的颜色被冥冥之中的历史决定了，不是黑就是红，但是，如果三个点是互相垂直的，它们就必须是两黑一红，因为小清的立方体和小涟的立方体是纠缠在一起的。

也就是说，通过这样的测量，假如点的颜色是决定论决定的，那么，就可以给66个点上色，这违背了前面的KS定理。

因此，我们只能说，小涟和小清假定他们观测到的颜色是冥冥之中注定的这件事，有问题。

这样，我们就证明了自由意志定理：在小涟和小清对立方体观测之前，立方体上的那些点还不知道自己要呈现什么颜色，呈现什么颜色是临时决定的。

也就是说，如果小涟和小清有自由意志，那些点也有自由意志。

敏锐的读者会问：等一下，小涟和小清的自由意志是怎么进入自由意志定理的？

很简单，如果小涟和小清没有自由意志，也就是说，他们选择看什么点，也是冥冥中注定的，是“冥冥”的一部分，那么我们可以说，决定点呈现什么颜色的“冥冥”也会和小涟和小清的决定有关，这样的话，这个“冥冥”就不独立于点的选择，也就说，“冥冥”与点有关，那么，我们就不能固定一个函数了，KS定理就不适用了。

其实，上面的实验有意用66个点完全是为了证明的方便。你可以选择用更多的点，甚至无限多个点。

CK定理的物理表述

觉得物理太困难的人可以跳过这一部分。

在CK的论文中，用来做实验的当然不是两个立方体，而是两个纠缠在一起的自旋为1的粒子。

如果小涟的粒子在一个方向自旋平方为0，小清去观测她手里的粒子，在这个方向上的自旋平方也是0;或者相反，小涟得1，小清也会得1，这是量子力学中我们熟悉的纠缠，是Bell简化了EPR悖论的翻版。（随便说一下，我喜欢台湾对EPR悖论的一个叫法，爱菠萝悖论。）当然，这不是悖论，是物理实验中反复被证明了的。CK将这个公理称为双子公理。

在证明中，还用到了SPIN公理，这个公理说，同时在三个垂直方向测量粒子的自旋平方，我们会得到（1，1，0）或其置换。

最后，相对论告诉我们，信号传播不能超过光速，这个公理叫信号有限传播速度公理（finite information propagation）。

如果没有信号有限传播速度公理，那么小清的“自由意志”可能会被小涟的“自由意志”决定，这样，那个函数也推导不出。就是说，小清每测量一次，她选择的方向就会被小涟影响，所以每测量一次可能是不同的函数。

CK的论文说，其实，我们也可以用电子来做实验。电子的自旋是1/2，电子的自旋平方也可以在三个垂直的方向同时测量，但是，需要三个纠缠的电子，需要三个实验员，有点麻烦而已。CK还说，其实自由意志定理用电子来证明还更简单。

自由意志定理的哲学推论

当然，CK自由意志定理并没有证明人是有自由意志的。

但是，这个定理说，假如人有自由意志，那基本粒子也有。在人对粒子做测量之前，粒子还没有作好决定。如果它作出决定，在不知道人测量什么的情况下，它的决定不能自洽，它会精神分裂。

所以，粒子只好在人选择好测量什么的时候，临时作出反应。

CK定理告诉我们，人的自由意志与粒子的自由意志在量子力学中是互相融洽的，也许粒子的自由意志是人的自由意志的基础。因为，人的神经网络毕竟是粒子构成的。

假如人有自由意志，那么，宇宙在某个时空区域出现的事件，不会是宇宙所有历史的函数。当然，也不会是任何初始条件的函数，因为初始条件是宇宙历史的一部分。

换句话说，假如人有自由意志，自由态理论就是错的。这是第一个物理推论。

另外，自由意志定理也蕴含着一个重要物理推论：玻姆的非局域隐变数理论不可能与相对论融洽。当然，这是在假定人有自由意志的前提下。

CK定理当然立刻否定了笛卡儿的二元论。笛卡儿假定人的意识是自由的，而物质是决定论的。

最后，在自由意志定理中，所谓自由是不是随机？

也不是。你可以说，让我们用计算机产生随机数的方式取代小涟和小清来做实验，让计算机随机作决定，然后同样也证明了自由意志定理。这么看，自由不就是随机么？

选择计算机产生随机数的决定也是人作出的，你不能离开人。所以，人的自由意志一开始就在那里，另外，计算机也是人按照理性造出来的。

我还可以继续下去，但无论我说多少，还是不能证明自由意志是存在的。我只想问，为什么我们的世界满足纠缠公理和信号有限传播速度公理，使得人的自由和粒子的自由互相包容？

你可以选择你的答案。比如说，你的自由意志是幻觉，同时，粒子的自由意志也是幻觉。上帝设计了量子力学让两种幻觉兼容。

我选择自由意志。不然，我觉得上帝太累了，他要预先锁定你可能做的实验，预先锁定你得到什么结果，并且，还要让所有这些满足一个简单的量子理论。

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