当前位置: 在线阅读网 > 科普书籍 > 爱因斯坦自述 > 几何学和经验16

几何学和经验16

数学是一切科学的学科里面最为人所尊重的,原因何在?因为其命题从来无需争辩,具有绝对的唯一性,这种程度的正确性是其他所有学科的命题都无法达到的。无论是哪一门学科,总有地方能产生争辩,并且还总是面临着被新的发现所取代的危险。即便如此,别的学科的人也不用对数学家有所妒忌,因为数学命题根本就没办法找到实在的对应客体,其命题对象仅仅存在于想象中。在数学领域,只要某个基本命题或公理得到众人的一致认同,那么有着相同逻辑的其他公理或结论也就必定会产生。数学能够给其他自然科学提供可靠的数据支撑,若是没有数学,其他科学也许就无法被证实,这也是数学有着极高声誉的另一个原因。

有一个谜是历史上的探索者都非常感兴趣的,接下来我就要将这个谜揭示出来。数学既然只是靠思维而来,无关于经验,那么为什么它还可以适用于无数客观存在的个体上面呢?人类是否能够无需经验而只凭思维就可以获得无数个事实呢?

我个人认为,我们应该如此理解:数学命题的可靠性和实在性是成反比的,即实在性越强,其命题的可靠程度就越是值得怀疑。要想弄清楚这种情况,我们要借助数学里面的“公理学”。公理学可以将何谓逻辑—形式、何谓客观或直观的内容分得一清二楚。在公理学里面,只有逻辑—形式可以构成数学题材,其他一切东西都与此无关。

接下来,我们借助这个观点对一条数学公理进行解释:有且仅有一条直线连接空间中任意的两个点。这条公理具体应该如何解释呢?我们要分古代的解释和近代的解释两种情况来说明。

古代的解释是:

在很早的时候,大家就已经非常清楚直线和点的含义了。可这种知识到底是如何获得的,还真说不太清楚。它到底是经验的总结,还是人类思维的自然结果呢?又或者,是这两者的结合产生了它?抑或是它的来源在其他地方?这个问题数学家无法解决。于是这个问题就被哲学家接了过去。这条公理是一种自明的公理,大概是所有的数学知识中最早为人所发现的。

近代的解释是:

直线、点等概念是几何学的基础。无需什么知识或经验的储备,只要告诉你这样的公理,你就能够接受这些知识。人们完全是在纯粹形式的意义上理解这些公理,跟一切直觉或经验都无关。只要运用逻辑思维,人们就能将这些公理自由地创造出来。所以,从逻辑上对公理进行推论构成了几何学命题的主干。几何学完全凭着对公理的定义来决定如何处理事物。斯里克曾针对认识论写了一本书,他说,公理实质上就是“隐形的定义”。

数学的所有外在附加因素都被现代公理学的观点删除得干干净净,数学因此有了更清晰的基础,人们也就看清了此前的诸多疑团。这种对于数学的解释是被修正过的,不过无法更明了地解释实际客体和直觉对象。当在几何中运用公理学时,“点”、“直线”等也失去了其实质的内容,仅仅作为符号存在,数学无法将任何内容附加到它们上面。

数学,尤其是几何学,有着非常特殊的存在理由,即为了确切地描述或规定实际客体的某个或某些方面。“几何”这个词的本意是测量土地,就很好地说明了这一点。在测量土地时,还要排列组合诸如地球的某些部分、量绳、量杆等自然对象。所以,公理学的几何概念体系无法完成这一任务,即它们无法明确地断言这些实际客体。因此几何学就要进行修订,去掉那些单纯的逻辑形式,将公理学中的几何概念与经验的实际客体一一对应,以满足这项任务。因此,接下来的一条命题就是必须的,即“三维欧几里得几何里的形体关系和固体间的排列关系是相等的”。有了这一条,欧几里得的命题就能够包含有关实际客体行为的断言了。

几何学通过这种方式就被作为自然科学的一种了。而实际上,我们也可以说最古老的物理学就是它。在此形势之下,它的断言就不仅仅是依靠逻辑推理来完成了,而拥有了经验的归纳这一根据。几何学被如此修改后,称作“实际几何”才更合适,因此,对另外一个几何——“纯粹公理学的几何”我们就要搞清楚,并且将二者的区分弄明白。我们只能凭借经验来回答这个问题:宇宙的实际几何到底能否归之于欧几里得几何?如果我们对“光是沿直线传播的”这条经验定律表示承认,并且认可“实际上光传播的轨道是‘实际几何’意义上的直线”,那么,物理学中的所有长度度量,包括天文学和测地学上的一切长度度量都能被囊括在这种“实际几何”中。

对于这种“实际几何”的观点,我要表示特别的感谢,因为我之所以能建立现在的相对论,要得益于它。若是这种意义上的几何学不存在,下面这个问题也就没有意义了:如果有一个参照系相对于惯性系运动,因为洛伦兹收缩 17 的存在,所以刚体的排列定律不再吻合于欧几里得几何的规则,因此,如果承认非惯性系也有着相同的地位,那么就必须要放弃欧几里得几何。并且,上述解释要是不存在,那么就很难确定向广义协变方程过渡的决定性一步。我们如果认为,在公理学欧几里得几何里面获得的物体形体,和实际的刚体之间存在着对应关系,那么就好像深刻而敏锐的思想家彭加勒所说:别的所有能够设想的公理学的几何都无法达到欧几里得几何的简单性。

……若是真的有不可调和的矛盾存在于理论和经验之间,那么我宁愿改变物理定律,而维持公理学的欧几里得几何。……

对于实际刚体和几何体之间存在的等效性,有的研究者并不认同,事实上这种等效性很容易看到。为什么他们会如此认为呢?他们在更深入地考察后发现,刚性从未出现在自然界中那些实际固体身上,是温度、外力等因素决定了这些固体的几何性状。如此一来,就破坏了在几何与物理之间存在着的那种直接而原始的关系。彭加勒从最一般的原理入手,他的观点值得我们重视。不能完全用几何(G)来断言实在事物的性状,而几何必须彻底跟物理定律(P)相结合才可以做到对事物形状的断言。我们能用符号来这样表示:当且仅当(G)和((P)相加时,才能够获得实验的结果。在这里,(G)或者(P)的某些部分都是我们能够任意选取的,因为一切物理定律都是规定了的。对于其余部分(P)的选取我们要把握好,要确保将(G)和所有的(P)合并起来时不与经验相矛盾,如此才能免于陷入自相矛盾的境况。我们若是从这个方面思考问题,就认识角度而言,公理学的几何等效于那些已有公认地位的自然规律。

从永恒的观点来说,彭加勒的理论是找不到错误的,这一点我要承认。我们无法在现实世界里找到确切地对应理论的东西,例如我们在现实中就找不到相对论里面的量杆和与它搭配的时钟的对应物。很明显,固体和时钟在物理学的概念大厦中所扮演的角色,并不是无法简约的元素,它们有着复合式的结构。这种元素无法担当起理论物理学中的任何一个独立角色。然而,就理论物理学当下的发展情形来说,我们必须要独立使用这些概念,因为在原子结构理论方面,我们的知识还极为贫乏,使得我们无法在理论上将之当做构成时钟和固体的基本概念。

此外还有一种截然相反的观点我也有所注意,这种观点对于自然界中存在着真正的刚体这一点表示否认,若是此观点成立,刚体性质对于物理实在就不能适用。可是,我们无需绞尽脑汁地研究此观点,因为它实际上并没有什么重要性。要想准确无误地测定量具的物理状态,并对它的性状能毫无疑问地代替刚体这一点进行验证,是非常容易的。然而,恰恰是那些和刚体有关的陈述,必须要对这种量具进行参照。

所以,我们能够说,整个实际几何的基础已经被经验所能验证的原理构造起来了。我们来看看这条原理是怎样的:我们能够将两个标记放在一个实际的刚体上,并用“一个截断”来称呼这对记号。假设有两个实际刚体在我们手上,且它们上面各有一个截断。如果一个截断两端的记号永远重合于另外一个,那么,我们就能认定,这是两个彼此“相等”的截断。好,我们再进行这么一个假设:

这两个截断如果在某时某地是相等的,那么无论在什么时间、什么地点它们都会相等。欧几里得的实际几何——黎曼的实际几何是对此理论最接近的推广。并且,这个假定也是广义相对论的基础。这个假定能够为许多实验提供依据,比如这个例子:光在真空中传播时,在任何一个确定的时间和地点中都有一个确定的截断,即光的相应路程。相反的情况同样成立。我们可以从此点发现:在相对论中时钟的时间间隔问题上,同样适用截断假定。

我们因此可以这么说:如果两只理想的钟表在任何地点和时间的行走速度一样,那么无论在什么地点和什么时间,这两只钟表行走的速度永远是一样的。实际存在的钟表如果不遵从这个定律,我们就会看到,被分割开来的同一种元素中的原子的本征频率就不会有严格的一致,这一点跟经验不同。从实验中我们了解到存在着锐光谱线,上面说的实际几何原理从这个结果中获得了有力的支持。说了这么些,我们总算可以面对这么一个问题了:四维空间——时间连续区的黎曼度规的形成原因。

目前而言,这个连续区的结构到底是来自欧几里得、黎曼或者是任何别的什么人,我们还无法确切地知道。要想对这个物理学本身的问题作出解答,我们不能只图方便而作出约定选择,而必须依靠经验。如果我们对时间—空间问题的考察只是局限在一片很小的区域里,那么实际刚体的排列定律就跟欧几里得几何体的定律极为接近,在此情况之下,黎曼的几何理论才可以成立。

的确,在小于分子数量级的空间内直接运用这个几何学的物理释义是不行的。可是,这个做法至少能在一定程度上解决一些和基本粒子的组成有关的问题。我们在描述组成物质的带电基本粒子的时候,可以尝试将一定的物理意义赋予场的概念。而在此前,我们只有在描述比分子大得多的物体的几何性状时才运用这些概念,并将一个物理定义给予这些物体。如今,我们想在物理定义之外的范畴使用黎曼几何的基本原理,还希望它的物理实在意义依旧存在,当然,目前来说这种努力能否成功还不能断言,答案只能等待试验结果的验证。或许结果会是这样:较之于温度概念外推到分子数量级的物体时,这种外推的很多依据有所不足。

将实际几何的概念推广到宇宙数量级的空间上,就表面上而言没有太多的问题。然而,我们也要注意那些反对意见。这种意见说道:若是固体杆组成结构的空间越大,则在这种结构中越不可能体现理想刚性。我认为,这种意见对问题的实质并未涉及。因为对于宇宙在空间上是否有极限这个问题的研究,在实际几何学的意义上是很有必要的。我甚至觉得,天文学在不久的将来能够给出这个问题的答案。广义相对论在这个方面就提出了两个可能:

第一,宇宙在空间上具有无限性。只有在一定的条件之下,才能够产生这种无限性。这个条件也就是:在宇宙星体中集中的物质平均空间密度为零;这个条件也就是在说:当考察的空间容积越来越大,星体的总质量和其所处的整个空间容积的比率无限趋近于零。

第二,宇宙在空间上具有有限性。在宇宙空间的重物质平均密度不为零时,就能实现这种有限性。因为平均密度越小,就意味着宇宙的容积越大。

我还要特别说明的是,我们可以列举出一个理论来论证这个关于宇宙有限性的假说。既定物质的惯性,会随着它附近有重物质的增加而变大,这是广义相对论里的一个观点。因此,将一个物体的总惯性和与其同宇宙中的其他物质之间的相互作用相联系,就是自然而然的。从广义相对论的方程中,我们能获得这个结论:要想将惯性的原因归结为物体之间的相互作用,就必须承认宇宙的有限性。

物理学家和天文学家并未适当地重视这个论证。我们在分析之后可以发现:两种可能性在现实中存在的状况,取决于经验。那么,能够验证这种状况的为什么只有经验呢?

为了对物质的平均密度进行检测,我们首先可以设想从已知的部分宇宙进入。然而,因为宇宙中分布的星体非常不规则,我们不能凭借自己的想象认定某一星体的平均物质密度等价于其他星体或星系,所以这个方法没有用。还要特别说明的在于,不管我们考察的空间有多大,我们都无法确定是否还有别的星体存在于这个空间之外。那么,对于平均密度的计算就更谈不上了。

我这里有另外一个办法解决这个问题,虽然也是困难多多,但其操作性却更强。我们要是将那些已经被经验所验证的广义相对论中的结论,和牛顿理论的结论进行对比,并对这些偏差进行研究,马上就会发现有一个偏差存在于引力物质的近旁。这个例子从水星身上就可以发现。可是,我们要是承认了宇宙空间的有限性,远离牛顿理论的第二个偏差也就出现了。我们用牛顿理论的语言对之进行这样的描述:表面上看来,能够产生引力场的除了有重物质,还有在整个空间中均匀分布的带负号的质量密度。可是,只有在极为广大的引力体系中,我们才能察觉后一种引力场,因为显而易见,这个虚设的质量密度非常之小。

我们要是已经获得了银河中星体的统计分布和质量的数据,那么我们就能运用牛顿定律,将引力场和这些星体所必须具有的平均速度计算出来。我们在这里对“必须具有”的强调不是没有原因的。因为银河系中的各个星体若能够互相吸引并保证银河系不至于坍塌,并能维持银河系的实际大小,就“必须具有”这个速度。要是能够测量出星体的实际速度,并且发现较之于我们计算出来的速度,这个速度更小一些,那么这样一个结论就出现了:牛顿定律所定的数额大于遥远距离之间的实际吸引力。这个偏差可以间接地证明宇宙的有限性,我们甚至还能够因此将宇宙空间的大小大概估计出来。

宇宙能否被我们想象为一个有限却没有边界的三维空间呢?

在一般情况下,我们不能如此设想。接下来,我们要证明出一个迥然不同的结论。对于有一点我需要强调一下,即在稍稍实践一番后,我们可以比较容易地用想象的图像对宇宙有限性理论进行说明。这些图像我们不久便能习惯。

我们首先要考察一下认识论的性质,因为我们无法直接描绘几何—物理理论本身,它们仅仅是一组概念。然而,这些概念能够联系起存在于我们头脑中的各种各样的或想象或实在的感觉经验。因此,为理论寻找系统排列的诸多能感觉的经验,就是理论形象化的实质。我们当下需要解决的问题在于,如何描述固体相互排列(接触)的性状,以使之对应到宇宙的有限性理论。对此问题我并无新的想法,可是,这个问题曾经有很多人对我问起,这说明现有的解释并未充分满足大家的好奇心。因此,我想在这里接着就这个问题讲一讲,要是我讲的某些部分是内行人觉得老生常谈的,还请谅解。

在说到空间的无限性的时候,我们实际上是在说什么呢?实际上,这仅仅是说明我们能够一个挨一个地任意在这个空间中摆放同样大小的物体,而这个空间永远不会被填满。从欧几里得几何来说,一个空间中如果有个立方盒,我们能在其上下、左右、前后堆放很多个大小相同的立方盒;可是,无限空间的构造并无边际。这也就是在说,不管我们添加的立方盒有多少个,都还可以再放。这就是所谓的空间无限性。也许这种描述更为贴切:刚体的排列规律若是跟欧几里得几何的规定相符合,那么,对于实际刚体来说空间具有无限性。

无限连续区是我们可以举出的另外一个例子。我们能够在一个平面上摆放许多张方卡片,每张卡片的每一个边都被其他的卡片连接。这种构造同样没有止境。这些卡片的排列规律只要跟欧几里得几何的平面图形的排列定律相符合,卡片就能够无限制地摆放。所以,就这些卡片而言平面是无限的。我们能够说,空间是三维的无限连续区,而平面就是二维的无限连续区。

二维连续区的特殊状况——有限但无边界,也是一个此类的例子。用一些大小相同的纸质小圆片和一个大球,就可以对这种情况进行说明。我们将一个小纸片放在大球表面的任意一个地方,并在球的表面随意移动这张纸片,在此过程之中,就不可能碰到边界。所以,这个大球的表面就可以被我们看作是一个没有边界的连续区。显而易见,此连续区具有有限性。想象一下,要是将所有的纸片都互不交叠地贴到球的表面,最后就会贴满球面,而再多贴一张纸片都不行。所以,就纸片来说,这个球的表面具有有限性。

有一点需要说明,即球面这个二维连续区是非欧几里得的,这也就说:这些刚性图形的排列和欧几里得平面的定律并不相符。我们可以用下面的方法来证明这一点:用六张纸片围住一张纸,然后用同样的方式在外围围住这六张纸片,然后一直向外铺展。我们要是将此构造放到平面上,此构造就可以形成一个无限延伸的排列,在此排列中,除了那些最外围的纸片,所有的纸片都和六张纸片连接。可是,这样的构造要是放在球面上,一开始,因为纸片的半径要远远小于球的半径,还可以进行这种构造,并且球的半径和纸片半径的比率越大,这种构造的希望也就越大。然而要是持续进行这种构造,纸片按照上述方法不间断地排列下去就越来越不可能。如此一来,即便是那些无法从这个球面上离开,乃至无法将球面看作三维空间的人,只要他们重复一遍这个纸片实验,就能发现自己的二维“空间”是球面空间,而并非欧几里得空间。

根据相对论的最新研究成果,我们发现很可能三维空间类似于球面空间。若果真如此,三维空间里刚体的排列定律就应该遵循近似球面几何的规定,而与欧几里得几何的规定不相符合。当然,我们要考察的那部分空间需要足够大才能如此说。探索到了这一步,也许会有的读者感觉犹疑。也许他会愤怒地喊叫,认为人们不可能想象出这种东西;也许他会这样想:只是这么说说而已,这么去想可就不行了。对我而言,想象一个球面是很容易的。然而,对之进行三维类比的想象,我也觉得很是困难。

我们必须要克服这种心理障碍。一个读者只要有耐心,做到这一点就并不困难。下面我们还要再看看二维球面几何,让大家能更好地理解这个问题。我们来看看这张图(图一),我们假设球面为K,球面上的一个圆纸片为L。我们用S来表示球面和平面E相接触的地方。为方便起见,这个平面我们用一个有边界的面进行表示。我们现在就要想象了:球面上和S径向相对的N点能够发光,纸片L因之在平面E上出现其投影L'。实际上,平面上会有球上的任何一点的投影。球面上的纸片L如果移动,相应的,平面E上的影L'同样会移动。在纸片L移动到S处的时候,其投影就几乎与它完全重叠。纸片要是从S处接着往上移动,影L'也就会自S向外移动,并且越来越大。在纸片L和发光点N相接近时,影L'就移到了无穷远的地方,并且无限大。

看了这张图后,我们来想一想——平面E上的纸片的影L'的排列规律是怎样的?很明显,它们跟球面上的纸片L的排列定律是一样的。平面上投影的几何完全一致于球面上纸片的几何。我们要是用刚性图形来定义这些投影,那么球面几何同样适用于平面E。有一点必须说明,即因为只有有限个数的纸片影可以在纸片上占到位置,所以平面能接受的纸片的投影是有限的。现在,也许有人对于将纸片的影归入刚性图形的做法表示质疑。事实上,若要对这一点进行验证,只要观察在平面E上一根尺子的移动情况就可以了,当影子越来越远离S的时候,影子就会越来越长。然而,如果这根尺子也和纸片的影L'一样可以在平面上伸缩,那又说明了什么呢?如此一来,人们就无法看到影子离开S时变长的情形,这种假设也就失去了意义。所以,关于纸片,我们能够获得的唯一客观判断就是:纸片和影之间的关系,完全等同于欧几里得几何意义上的球面上的刚性纸片的关系。

有一点我们必须要注意:要想让关于纸片影增大(在它们移动到无穷远处时)的陈述本身具有客观意义,我们的比较就只能局限在在平面E上运动的欧几里得刚体和纸片的影之间。而无论是认为S点在平面上还是在球面上,最终都不会影响影L'的排列定律。

将球面几何在平面上进行表示,对我们来说意义重大,因为如此一来,将它转化为三维模式对我们而言就很容易了。

想象一下,有一个点以及很多个小球L'存在于一个空间之中,并且这些小球之间能够彼此重合。然而,较之于欧几里得几何意义上的刚性球,这些小球有所不同:在S往无穷远处移动的时候,这些小球的半径从欧几里得几何的意义而言是在增长的。它的整个增长过程所遵循的规律,跟平面上那些纸片的影L'的半径增长规律完全一样。

当这些L'球的几何性状生动地出现在我们的脑海中之后,我们假定根本就没有欧几里得意义上的刚体存在于这个空间中,这里存在的只有L'球性状的形体。如此,一幅关于三维球面空间的图像,或者说关于三维球面几何的图像就能被我们清晰地想象出来。在这里,我们有必要用“刚性”球来称呼这些球。在这些小球从S离开的时候,它们大小的增长状况无法用量杆来量度,这一点就像纸片影在平面E上一样,这些球和后者有着相同的量度标准性。因为空间是均匀的,所以同样的球的排列会出现在每一点的附近 18 。在有限的空间之中,只能存在一定数量的球,因为这些球会不断“增大”。

所以,在力图获得球面几何的心理图像时,我们的想象和思维实践完全能够借助欧几里得几何。我们的观念能从这些特殊的形象构图中获得极大的裨益,让这些观念更有活力和深度。我们同样能轻松地用类似的方法来解决所谓的椭面几何问题。最后,我想郑重地告诉大家:人类的形象思维在面对非欧几里得几何的时候,绝对不是没有一点用处和能力的。

在线阅读网:http://www.yUedu88.com/