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第三章 空间的不寻常的性质

一、维数和坐标

大家都知道什么叫空间,不过,如果要抠抠这个词的准确意

义,恐怕又会说不出个所以然来。你大概会这样说:空间乃包含万

物,可供万物在其中上下、前后、左右运动者也。三个互相垂直的

独立方向的存在,描述了我们所处的物理空间的最基本的性质之

一;我们说,这个空间是三个方向的,即三维的。空间的任何位置

都可利用这三个方向来确定。如果我们到了一座不熟悉的城市,

想找某一家有名商号的办事处,旅店服务员就会告诉你:

“向南走

过 5 个街区,然后往右拐,再过 2 个街区,上第 7 层楼。”这三个

数一般称为坐标。在这个例子里,坐标确定了大街、楼的层数和出

发点(旅店前厅)的关系。显然,从其他任何地方来判别同一目

标的方位时,只要采用一套能正确表达新出发点和目标之间的关

系的坐标就行了。并且,只要知道新、老坐标系统的相对位置,就

可以通过简单的数学运算,用老坐标来表示出新坐标。这个过程

叫做坐标变换。这里得说明一句,三个坐标不一定非得是表示距离

的数不可,在某些情况下,用角度当坐标要方便得多。

举例来说,在纽约,位置往往用街和马路来表示,这是直角坐

标;在莫斯科则要换成极坐标,因为这座城是围绕克里姆林宫中

心城堡建筑起来的。从城堡辐射出若干街道,环城堡又有若干条

同心的干路。这时,如果说某座房子位于克里姆林官正东北方向

第二十条马路上,当然会很便当。

图 12 给出了几种用三个坐标表示空间中某一点的位置的方法,

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图 12

其中有的坐标是距离,有的坐标是角度。但不论什么系统,都需要

三个数。因为我们所研究的是三维空间。

对于我们这些具有三维空间概念的人来说,要想像比三维多

的多维空间是困难的,而想像比三维少的低维空间则是容易的。

一个平面,一个球面,或不管什么面,都是二维空间,因为对于面

上的任意一点,只要用两个数就可以描述。同理,线(直线或曲

线)是一维的,因为只需一个数便可以描述线上各点的位置。我

们还可以说,点是零维的,因为在一个点上没有第二个不同的位

置,可是话说回来,谁对点感兴趣呢!

作为一种三维的生物。我们觉得很容易理解线和面的几何性

质,这是因为我们能“从外面”观察它们。但是,对三维空间的

几何性质,就不那么容易了,因为我们是这个空间的一部分。这个

原因解释了为什么我们不费什么事就理解了曲线和曲面的概念,

而一听说有弯曲的三维空间就大吃一惊。

但是,只要通过一些实践去了解“曲率”这个词的真实含义,

你就会发现弯曲三维空间的概念其实是很简单的,而且到下一章

结束时(我们希望)你甚至能轻轻松松地谈及一个乍看起来似乎

十分可怕的概念——那就是弯曲的四维空间。

不过,在讨论弯曲的三维空间之前,还是先来做几节有关一

维曲线、二维曲面和普通三维空间的脑力操吧。

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二、不量尺寸的几何学

你在学校里早就与几何学搞得很熟了。在你的记忆中,这是

一门空间量度的科学&①,它的大部分内容,是一大堆叙述长度和角

度的各种数值关系的定理(例如,毕达哥拉斯定理就是叙述直角

三角形三边长度的关系的)。然而,空间的许多最基本的性质,却

根本用不着测量长度和角度。几何学中有关这一类内容的分支叫

做拓扑学&②。

现在举一个简单的典型拓扑学的例子。设想有一个封闭的几

何面,比如说一个球面,它被一些线分成许多区域。我们可以这样

做:在球面上任选一些点,用不相交的线把它们连接起来。那么,

这些点的数目、连线的数目和区域的数目之间有什么关系呢?

首先,十分明显的一点是:如果把这个圆球挤成南瓜样的扁

球,或拉成黄瓜那样的长条,那么,点、线、块的数目显然还和圆

球时的数目一样。事实上,我们可以取任何形状的闭曲面,就像随

意拉挤压扭一个气球时所能得到的那些曲面(但不能把气球撕裂

或割破)一样。这时,上述问题的提法和结论都没有丝毫改变。

而在一般几何学中,如果把一个正方体变成平行六面体,或把球

形压成饼形,各种数值(如线的长度、面积、体积等)都会发生

很大变化。这一点是两种几何学的很大不同之处。

我们现在可以将这个划分好的球的每一区域都展平,这样,

球体就变成了多面体(图 13),相邻区域的界线变成了棱,原先挑

选的点就成了顶点。

这样一来我们刚才那个问题就变成(本质上没有任何改变):

一个任意形状的多面体的面、棱和顶点的数目之间有什么关系?

图 14 示出了五种正多面体(即所有各个面都有同样多的棱和


① 几何学这个名词出自两个希腊文 ge(地球或地面)和 metrein(测量)。很明显,

在构造这个词的时候,古希腊人对这门学科的兴趣是同他们的实际房产联系在一起的。

② 这个名词在拉丁文和希腊文中的意思都是定位研究。

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图 13 一个划分成若干区域的球面变成一个多面体


图 14 五种正多面体(只可能有这五种)和一个不规则多面体

顶点)和一个随意画出的不规则多面体。

我们可以数一数这些几何体各自拥有的顶点数、棱数和面数,

看看它们之间有没有什么关系。

数一数以后,我们得到下面的表。

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多面体名称

顶点数&V

棱数&E

面数&F

V + F

E + 2

四 面 体 4 6 4 8 8

六 面 体 8 12 6 14 14

八 面 体 6 12 8 14 14

二十面体 12 30 20 32 32

十二面体 20 30 12 32 32

“古怪体” 21 45 26 47 47

前面三栏的数据,乍一看来好像没有什么相互关系。但仔细

研究一下就会发现,顶点数和面数之和总是比棱数大 2。因此,我

们可以写出这样一个关系式:

V&+&F&=&E&+ 2。

这个式子是适用于任何多面体呢,还是只适用于图 14 上这几

个特殊的多面体?你不妨再画几个其他样子的多面体,数数它们

的顶点、棱和面。你会发现,结果还是一样。可见,&V&+&F&=&E+ 2

是拓扑学的一个普遍适用的数学定理,因为这个关系式并不涉及

到棱的长短或面的大小的量度,它只牵涉到各种几何学单位(顶点、

棱、面)的数目。

这个关系是 17 世纪法国的大数学家笛卡儿(René Descartes)

最先注意到的,它的严格证明则由另一位数学大师欧拉作出。这

个定理现在被称为欧拉定理。

下面就是欧拉定理的证明,引自古朗特(R. Courant)和罗宾

斯(H. Robbins)的著作《数学是什么?》①。我们可以看一看,这

一类型的定理是如何证明的。

为了证明欧拉的公式,我们可以把给定的简单多面体想像成

用橡皮薄膜作成的中空体(图 15a)。如果我们割去它的一个面,

然后使它变形,把它摊成一个平面(图 15b)。当然,这么一来,

面积和棱间的角度都会改变。然而这个平面网络的顶点数和边数

都与原多面体一样。而多边形的面的数目则比原来多面体的面数


① 对于本书中所举的拓扑学基本范例有兴趣的读者,可在《数学是什么?》(&What is

mathematics?)一书中找到详尽的叙述。

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少了一个(因为割去了一个面)。下面我们将证明,对于这个平

面网络,&V-&E&+&F&= 1。这样,在加上割去的那个面以后,结果就

成为:对于原多面体,&V–&E&+&F&= 2。

首先,我们把这个平面网络“三角形化”,即给网络中不是

三角形的多边形加上对角线。这样,&E&和&F&的数目都会增加。但

由于每加一条对角线,&E&和&F&都增加 1,因此&V–&E&+&F&仍保持不

变。这样添加下去,最后,所有的多边形都会变成三角形(图

15c)。在这个三角形化了的网络中,&V–&E&+&F&仍和三角形化以前

的数值一样,因为添加对角线并不改变这个数值。

有一些三角形位于网络边缘,其中有的(如△&ABC)只有一

条边位于边缘,有的则可能有两条边。我们依次把这些边缘三角

形的那些不属于其他三角形的边、顶点和面拿掉(图 15d)。这

样,从△&ABC,我们拿去了&AC&边和这个三角形的面,只留下顶

点&A,&B,&C&和两条边&AB,&BC;从△&DEF,我们拿去了平面、两

条边&DF,&FE&和顶点&F

在△&ABC&式的去法中,&E&和&F&都减少 1,但&V&不变,因而&V

–&E&+&F&不变。在△&DEF&式的去法中,&V&减少 1,&E&减少 2,&F&

少 1,因而&V&–&E&+&F&仍不变。以适当方式逐个减少这些边缘三角

形,直到最后只剩下一个三角形。一个三角形有三条边、三个顶

点和一个面。对于这个简单的网络,&V–&E&+&F&= 3-3+1 = 1。我们

已经知道,&V–&E&+&F&并不随三角形的减少而改变,因此,在开始

的那个网络中,&V–&E&+&F&也应该等于 1。但是,这个网络又比原

来那个多面体少一个面,因此,对于完整的多面体,&V–&E&+&F =

2。这就证明了欧拉的公式。

欧拉公式的一条有趣的推论就是:只可能有五种正多面体存

在,就是图 14 中那五种。

如果把前面几页的讨论仔细推敲一下。你可能就会注意到,

在画出图 14 上所示的“各种不同”的多面体,以及在用数学推理

证明欧拉定理时,我们都作了一个内在的假设,它使我们在选择

多面体时受了相当的限制。这个内在假设就是:多面体必须没有任

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图 15 欧拉定理的证明。图中所示的是正方体的情况,但所

得到的结论对任意多面体来说都是成立的


图 16 两个有透眼的立方体,它们分别穿有一个和两个透眼。这两个立方体

的各面不都是矩形,但我们知道,这在拓扑学中是无关紧要的

何透眼。所谓透眼,不是气球上撕去一块后所成的形状,而是像面

包圈或橡皮轮胎正中的那个窟窿的模样。

这只要看看图 16 就清楚了。这儿有两种不同的几何体,它们

和图 14 所示的一样,也都是多面体。

现在我们来看看。欧拉定理对这两个新的多面体适用不适用。

在第一个几何体上,可数出 16 个顶点、32 条棱和 16 个面;

这样,&V+&F&= 32,而&E+2 = 34,不对了。第二个有 28 个顶点、60

条棱和 30 个面;&V+&F&= 58,&E+2 = 62,这就更不对了。

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为什么会这样呢?我们对欧拉定理作一般证明时的推理对于

这两个例子错在哪里呢?

错就错在:我们以前所考虑到的多面体可以看成一个球胆或

气球,而现在这种新型多面体却应看成橡皮轮胎或更为复杂的橡

胶制品。对于这类多面体,无法进行上述证明过程所必需的步骤

——“割去它的一个面,然后使它变形,把它摊成一个平面。”

如果是一个球胆,那么,用剪刀匆去一块之后,就很容易完成

这个步骤。但对一个轮胎,却无论如何也不会成功。要是图 16 还

不能使你相信这一点,你找条旧轮胎动手试试也可以!

但是不要认为对于这类较为复杂的多面体,&V,&E&和&F&之间就

没有关系了。关系是有的,不过与原来不同就是了。对于面包圈式

的,说得科学一点,即对于环状圆纹曲面型的多面体,&V&+&F&=&E

而对于那种蜜麻花型的,则&V&+&F&=&E&- 2。一般说来,&V&+&F&=&E&+ 2

-2&N,&N&表示透眼的个数。

另一个典型的拓扑学问题与欧拉定理密切有关,它是所谓

“四色问题”。假设有一个球面划分成若干区域;把这球面涂上颜

色,要求任何两个相邻的区域(即有共同边界的区域)不能涂上

同一种颜色。问完成这项工作,最少需要几种颜色?很容易看出,

两种颜色一般来说是不够用的。因为当三条边界交于一点时(比

如美国的弗吉尼亚、西弗吉尼亚和马里兰三州的地图,见图 17),

就需要三种颜色。

要找到需要四种颜色的例子也不难(图 17)。这是过去德国吞

并奥地利时的瑞士地图&①。

但是,随你怎么画,也得不到一张非得用四种以上颜色不可

的地图,无论在球面上还是在平面上都是如此&②。看来,不管是多


① 德国占领前用三色能够了;瑞士涂绿色,法国和奥地利涂红色,德国和意大利涂黄

色。

② 平面上和球面上的地图着色问题是相同的。因为当把球面的地图上色问题解决之

后,我们就能在某一种颜色的地区开一个小洞,然然后把整个球面“摊开”成一个平面,这

还是上面那种典型的拓扑学变换。

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图 17 马里兰州,弗吉尼亚州和西弗吉尼亚州的地图(左边)

和瑞士、法国、德国、意大利的地图(右边)

么复杂的地图,四种颜色就足以避免边界两边的区域相混了。

不过,如果这种说法是正确的,就应该能够从数学上加以证

明。然而,这个问题虽经几代数学家的努力,至今仍未成功。这是

那种实际上已无人怀疑,但也无人能证明的数学问题的又一个典

型实例。现在,我们只能从数学上证明有五种颜色就够了。这个证

明是将欧拉关系式应用于国家数、边界数和数个国家碰到一块的

三重、四重等等交点数而得出的。

这个证明的过程太复杂,写出来会离题太远,在这里就不赘

述了。读者可以在各种拓扑学的书中找到它,并借以渡过一个愉

快的晚上(说不定还得一夜不眠)。如果有谁能够证明无需五种、

而只用四种颜色就足以给任何地图上色,或研究出一幅四种颜色

还不够用的地图,那么,不论哪一种成功了,他的大名就会在纯粹

数学的年鉴上出现 100 年之久&*。

说来好笑,这个上色问题,在球面和平面的简单情况下怎么

也证不出来;而在复杂的曲面,如面包圈型和蜜麻花型中,却比较


* 这个问题已在 20 世纪 70 年代用计算机解决了。——译者

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顺利地得到了证明。比如,在面包圈型中已经得出结论说,不管它

怎样分划,要使相邻区域的颜色不致相同,至少需要七种颜色。这

样的实例也做出来了。

读者不妨再费点脑筋,找一个充气轮胎,再弄到七种颜色的油

漆,给轮胎上漆,使每一色漆块都和另外六种颜色漆块相邻。如果

做到这一点,他就可以声称他对面包圈型曲面确实心里“有谱”了。

三、把空间翻过来

到目前为止,我们所讨论的都是各种曲面,也就是二维空间

的拓扑学性质。我们同样也可以对我们生存在内的这个三维空间

提出类似的问题。这么一来,地图着色问题在三维情况下就变成

了:用不同的物质制成不同形状的镶嵌体,并把它们拼成一块,使

得没有两块同一种物质制成的子块有共同的接触面,那么,需要

用多少种物质?

什么样的三维空间对应于二维的球面或环状圆纹曲面呢?能

不能设想出一些特殊空间,它们与一般空间的关系正好同球面或

环状面与一般平面的关系一样?乍一看,这个问题似乎提得很没

有道理,因为尽管我们能很容易地想出许多式样的曲面来,但却

一直倾向于认为只有一种三维空间即我们所熟悉并在其中生活

的物理空间。然而,这种观念是危险的,有欺骗性的。只要发动一

下想像力,我们就能想出一些与欧几里得几何教科书中所讲述的

空间大不相同的三维空间来。

要想像这样一些古怪的空间,主要的困难在于,我们本身也

是三维空间中的生物,我们只能“从内部”来观察这个空间,而

不能像在观察各种曲面时那样“从外面”去观察。不过,我们可

以通过做几节脑筋操,使自己在征服这些怪空间时不致过于困难。

首先让我们建立一种性质与球面相类似的三维空间模型。球

面的主要性质是:它没有边界,但却具有确定的面积:它是弯曲

的,自我封闭的。能不能设想一种同样自我封闭,从而具有确定体

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积而无明显界面的三维空间呢?

设想有两个球体,各自限定在自己的球形表面内,如同两个

未削皮的苹果一样。现在,设想这两个球体“互相穿过”,沿外表

面粘在一起。当然,这并不是说,两个物理学上的物体如苹果,能

被挤得互相穿过并把外皮粘连在一起。苹果那怕是被挤成碎块,

也不会互相穿过的。


图 18

或者,我们不如设想有个苹果,被虫子吃出弯曲盘结的隧道

来。要设想有两种虫子,比如说一种黑的和一种白的;它们互相憎

恶、互相回避,因此,苹果内两种虫蛀的隧道并不相通,尽管在苹

果皮上它们可以从紧挨着的两点蛀食进去。这样一个苹果,被这

两条虫子蛀来蛀去,就会像图 18 那样,出现互相紧紧缠结、布满

整个苹果内部的双股隧道。但是,尽管黑虫和白虫的隧道可以很

接近,要想从这两座迷宫中的任一座跑到另一座去,却必须先走

到表面才行。如果设想隧道越来越细,数目越来越多,最后就会在

苹果内得到互相交错的两个独立空间,它们仅仅在公共表面上相

连。

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如果你不喜欢用虫子作例子,不妨设想一种类似纽约的世界

博览会大厦这座巨大球形建筑里的那种双过道双楼梯系统。设想每

一套楼道系统都盘过整个球体,但要从其中一套的一个地点到达

邻近一套的一个地点,只能先走到球面上两套楼道会合处,再往

里走。我们说这两个球体互相交错而不相妨碍。你和你的朋友可

能离得很近,但要见见面、握握手,却非得兜一个好大的圈子不

可!必须注意,两套楼道系统的连接点实际上与球内的各点并没

有什么不同之处,因为你总是可以把整个结构变变形,把连接点

弄到里面去,把原先在里面的点弄到外面来。还要注意,在这个模

型中,尽管两套隧道的总长度是确定的。却没有“死胡同”。你可

以在楼道中走来走去,决不会被墙壁或栅栏挡住;只要你走得足

够远,你一定会在某个时候重新走到你的出发点。如果从外面观察

整个结构,你可以说,在这迷宫里行走的人总会回到出发点,只不

过是由于楼道逐渐弯曲成球形。但是对于处在内部、而且不知“外

面”为何物的人来说,这个空间就表现为具有确定大小而无明确边

界的东西。我们在下一章将会看到,这种没有明显边界、然而并非

无限的“自我封闭的三维空间”在一般地讨论宇宙的性质时是非常

有用的。事实上,过去用最强大的望远镜所进行的观察似乎表明

了,在我们视线的边缘这样远的距离上,宇宙好像开始弯曲了,这

显示出它有折回来自我封闭的明显趋势,就像那个被蛀食出隧道

的苹果的例子一样。不过,在研究这些令人兴奋的问题之前,我们

还得再知道空间的其他性质。

我们跟苹果和虫子的交道还没有打完。下一个问题是:能否

把一只被虫子蛀过的苹果变成一个面包圈。当然,这并不是说把

苹果变成面包圈的味道,而只是说样子变得一样;我们所研究的

是几何学,而不是烹饪法。让我们取一只前面讲过的“双苹果”,

也就是两个“互相穿过”并且表皮“粘连在一起”的苹果。假设

有一只虫子在其中一只苹果里蛀出了一条环形隧道,如图 19 所示。

记住,是在一只苹果里蛀的。所以,在隧道外的每一点都是属于两

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个苹果的双重点,而在隧道内则只有那个未被蛀过的苹果的物质。

这个“双苹果”现在有了一个由隧道内壁构成的自由表面(图

19a)。

如果假设苹果具有很大的可塑性,怎么捏就怎么变形。在要

求苹果不发生裂口的条件下,能否把这个被虫子蛀过的苹果变成

面包圈呢?为了便于操作,可以把苹果切开,不过在进行过必要的

变形后,还应把原切口粘起来。

首先,我们把粘住这“双苹果”的果皮的胶质去除,将两个

苹果分开(图 19b)。用Ⅰ和Ⅰ′这两个数字表示这两张表皮,以便

在下面各步骤中盯住它们,并在最后重新把它们粘起来。然后,把

那个被蛀出一条隧道的苹果沿隧道切开(图 19c)。这一下又切出

两个新面来,记之以Ⅱ,Ⅱ′和Ⅲ,Ⅲ′,将来,还是要把它们粘回

去的。现在,隧道的自由面显示出来了,它应该成为面包圈的自由

面。好,现在就按图 19a 的样子来摆弄这几块零碎儿。现在这个自

由面被拉伸成老大一块了(不过,按照我们的假定,这种物质是

可以任意伸缩的!)。而切开的面Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的尺寸都变小了。与

此同时,我们也对第二个苹果进行手术,把它缩小成樱桃那么大。

现在开始往回粘。第一步先把Ⅲ,Ⅲ′粘上,这很容易做到,粘成

后如图 19e 所示。第二步把被缩小的苹果放在第一个苹果所形成的

两个夹口中间。收拢两夹口,球面Ⅰ就和Ⅰ′重新粘在一起,被切

开的面Ⅱ和Ⅱ′也再结合起来。这一来,我们就得到了一个面包圈,

光溜溜的,多么精致!

搞这些有什么用呢?

没有什么用,只不过让你作作脑筋操,体会一下什么是想像

的几何学。这有助于理解弯曲空间和自我封闭空间这类不寻常的

东西。

如果你愿意让你的想像力走的更远一些,那么,我们可以来

看看上述做法的一个“实际应用”。

你大概从来也没有意识到过。你的身\_体也具有面包圈的形状

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图 19 怎样把一个虫蛀过的双苹果变成一个顶呱呱的面包圈

吧。事实上,任何有生命的物体,在其发育的最初阶段(胚胎阶段)

都经历过“胚囊”这一过程。在这个阶段,它呈球形,当中横贯

着一条宽阔的通道。食物从通道的一端进入,被生命体摄取了有

用成分以后,剩下的物质从另一端排出。到了发育成熟的阶段,这

条内部通道就变得越来越细,越来越复杂,但最主要的性质依然

如故,面包圈型体的所有几何性质都没有改变。

好啦,既然你自己也是个面包圈,那么,现在试试按照图 19

的逆过程把它翻回去——把你的身\_体(在思维中)变成内部有一

条通道的双苹果。你会发现,你身\_体中各个彼此有些交错的部分

组成了这个“双苹果”的果体,而整个宇宙,包括地球、月亮、

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太阳和星辰,都被挤进了内部的圆形隧道!


图 20 翻过来的宇宙。这幅超现实的图画所画的是一个人在地球表面上走,

并抬头看着星星。这幅画是用图 19 所示的方法进行拓扑学变换的。地球、

太阳和星星都被挤到了人体-内的一个狭窄的环形通道里,它们的四周是

人体的内部器官

你还可以试画画看,看画成什么样子。如果你的成绩不错,

那就连达利(Salvado Dali)*本人也要承认你是超现实派的绘画权

威了(图 20)!

这一节已经够长了,但我们还不能就此结束,还得讨论一下

左手系和右手系物体,以及它们与空间的一般性质的关系。这个

问题从一副手套讲起最为便当。一副手套有两只。把它们比较一

下就会发现(图 21),它们的所有尺寸都相同,然而,两只手套却

有极大的不同:你决不能把左手那只戴到右手上,也不能把右手

那只套在左手上。你尽管把它们扭来转去,但左手套永远是左手

套,右手套永远是右手套。另外,在鞋子的形状上,在汽车的操纵


* 达利,西班牙超现实主义派画家。——校者

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图 21 右手系和左手系的物体。它们看起来非常相像但是极为不同

系统(美国的和英国的)上&*,在高尔夫球棒上和在许多其他物

体上,都可以看到左手系和右手系的区别。

另一方面,有些东西,如礼帽,网球拍等许多物体,就不存在

这种差别。没有人会蠢到想去商店里买几只左手用的茶杯;如果

有人叫你找邻居去借一把左手用的活动扳手,这也纯粹是在作弄

人。那么,这两类物体有什么区别呢?你想一想就会发现,在礼帽

和茶杯等一类物体上都存在一个对称面,沿这个面可将物体切成

两个相等的部分。手套和鞋子就不存在这种对称面。你不妨试一

试,无论怎么切,你都不能把一只手套割成两个相同的部分。如果

某一类物体不具有对称面,我们就说它们是非对称的,而且就能

把它们分成两类——左手系的与右手系的。这两系的差别不仅在

手套这些人造的物体上表现出来,在自然界中也经常存在。例如,

存在着两种蜗牛,它们在其他各个方面都一样,唯独给自己盖房

子的方式不同:一种蜗牛的壳呈顺时针螺旋形,另一种呈逆时针

螺旋形。就是在分子这种组成一切物质的微粒中,也像在左、右手


* 在英国,车辆靠道路左边行驶,在美国则和在我国一样车在右侧运行。因此,两国

的汽车中,司机的位置不同,英国司机位于右半边(顺行进方向看时),而美国则位于左半

边(都在靠近马路中线一侧)。——译者

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手套和蜗牛壳的情况中一样,往往有左旋和右旋两种形态。当然,

分子是肉眼看不见的,但是,这类分子所构成的物质的结晶形状

和光学性质,都显示出这种不对称性。例如,糖就有两类:左旋糖

和右旋糖;还有两类吃糖的细菌,每一类只吞吃与自己同类的的糖,

信不信由你。

从上述内容看来,要想把一个右手系物体(比如说一只右手

套)变成左手系物体,似乎是完全不可能的。真的是这样吗?能

不能想像出某种可以实现这种变化的奇妙空间呢?让我们从生活

在平面上的扁片人的角度来解答这个问题,因为这样做,我们能

站在较为优越的三维的地位上来考察各个方面。请看图 22,图上

描绘了扁片国——即仅有两维的空间——的几个可能的代表。那

个手里提着一串葡萄站立的人可以叫做“正面人”,因为他只有

“正面”而没有“侧身”。他旁边的动物则是一头“侧身驴”,说

得更严格一点,是一头“右侧面驴”。当然,我们也能画出一头

“左侧面驴”来。这时,由于两头驴都局限在这个面上,从两维的

观点来看,它们的不同正如在三维空间中的左、右手手套一样。你

不能使左、右两头驴头并头地叠在一起,因为如果要它们鼻子挨


图 22 生活在曲面上的二维“扁片生物”就是这个样子的。不过,这类

生物很不“现实”,那个人有正面而无侧面,他不能把手里的葡萄放进自

己嘴里。那头驴子吃起萄萄来倒是挺便当,但他只能朝右走。如果它要

向左去,就只好退着走。驴子倒是常往后退的,不过这毕竞不那么像样

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着鼻子、尾巴挨着尾巴,其中就得有一头翻个肚-皮朝天才行,这

样,它可就四脚朝天,无法立足罗。

不过,如果把一头驴子从面上取下来,在空间中掉转一下,再

放回面上来,两头驴子就都一样了。与此相似,我们也可以说,如

果把一只右手手套从我们这个空间中拿到四维空间中,用适当的

方式旋转一下再放回来,它就会变成一只左手手套。但是,我们这

个物理空间并没有第四维存在,所以必须认为上述方法是不可能

实现的。那么,有没有别的方法呢?

让我们还回到二维世界上来。不过我们要把图 22 那样的一

般平面,换成所谓莫比乌斯(Möbius)面。这种曲面是以一个世

纪以前第一个对这种面进行研究的德国数学家来命名的。它很容

易得到:拿一长条普通纸,把一端拧一个弯后,将两端对粘成一个

环。从图 23 上可看出这个环该如何做。这种面有许多特殊的性质,

其中有一点是很容易发现的:拿一把剪刀沿平行于边缘的中线剪

一圈(沿图 23 上的箭头),你一定会预言,这一来会把这个环剪

成两个独立的环;但做一下看看,你就会发现你想错了:得到的不

是两个环,而是一个环,它比原来那个长一倍,窄一半!

让我们看看,一头扁片驴沿梅比乌斯面走一圈会发生什么。

假定它从位置 1(图 23)开始。这时看来它是头“左侧面驴”。从


图 23 莫比乌斯面和克莱茵瓶

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20&世纪科普经典特藏 从一到无穷大


图上可清楚地看出,它走啊走,越过了位置 2,位置 3,最后又接

近了出发点。但是,不单是你觉得奇怪,连它自己也觉得不对劲,

它竟然处在蹄子朝上的古怪位置。当然它能在面内转一下,蹄子

又落了地,但这样一来,头的方向又不对了。

总之,当沿莫比乌斯面走一圈后,我们的“左侧面驴”变成

了“右侧面驴”。要记住,这是在驴子一直处在面上而从未被取出

来在空间旋转的情况下发生的。于是我们发现,在一个扭曲的面

上,左、右手系物体都可在通过扭曲处时发生转换。图 23 所示的莫

比乌斯面是被称作“克莱茵瓶”的更一般性的曲面的一部分(克

莱茵瓶如图 23 右边所示)。这种“瓶”只有一个面,它自我封闭

而没有明显的边界。如果这种面在二维空间内是可能的,那么,同

样的情况也能在三维空间中发生,当然,这要求空间有一个适当

的扭曲。要想像空间中的莫比乌斯扭曲自然决非易事。我们不能

像看扁片驴那样从外部来看我们自己的这个空间,而从内部看又

往往是看不清的。但是,天文空间并非不可能自我封闭,并有一个

莫比乌斯式扭曲的。

如果情况确实如此,那么,环游宇宙的旅行家将会带着一颗

位于右胸腔内的心脏回到地球上来。手套和鞋子制造商兴许能由

简化生产过程而获得一些好处。因为他们只需制造清一式的鞋子

和手套,然后把一半产品装入飞船,让它们绕行宇宙一周,这样它

们就能套进另一边的手脚了。

我们就用这个奇想来结束有关不寻常空间的不寻常性质的讨

论吧。


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