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第6章 不确定的世界

你给铅球一个力,它就能被推出相应的距离。开车的时候,挂好挡,踩上油门,你会看到汽车速度计指针慢慢升高。如果你是飞行员,会有更多仪表,每一个仪表都告诉你相应的飞机状态数值。当然,不论是腕表,还是手机中的时钟,都是有条不紊地走着。太阳每天从东方升起,然后在西方落下。从日常经验来看,我们这个世界是按照某种事先确定好的方式运行的。

另一方面,我们又体会到不确定性。你不知道明年会不会升职,不知道一本书出版后能够卖出多少本,你甚至不知道今天在饭店会点什么菜,不知道有什么客人会迟到。这些不确定性,让我们感到世界的无法把握,有时甚至让我们绝望,比如你在找工作却一直找不到,不知道录用的机会什么时候到来。物理学家会告诉你,其实这些不确定性都是表面的不确定性,有很多因素你不知道,所以你不能预言。比如前面提到的请客,张三也许在家和老婆吵了一架,他迟到了半小时。如果你知道了所有这些因素,你就能预料到事态的发展。

不过,在我们将所有因素都约化到最简单的因素之后,很多情况下我们还是不能预言事态将如何发展。比如张三和老婆吵架了,最终归结到他老婆某根神经出了问题,可问题在于,连张三老婆都不能预知自己什么时候哪根神经会出问题,你又怎么能够预言张三是否和老婆吵架,预言吵架会持续到什么时候?因此,所有和人类活动有关的事情,最终都归结为人的大脑活动,而迄今为止我们并不能预言大脑的运行,也不知道它作出决定过程的细节。在后面的一章中,我们将讨论一个深刻的问题,即人类是否拥有自由意志。

在宏观层面上,世界既有确定的一面,又有不确定的一面。物理学家在大约100年前终于知道了,微观世界是彻头彻尾不确定的。这个发现完全颠覆了牛顿的世界观,因为根据牛顿体系,世界是机械的,因此是确定的。至今,还有很多生物学家相信人类的大脑也像一个时钟,只不过更加复杂而已。量子世界的发现让物理学家从此变得很低调,也让普通人觉得世界原本是不可捉摸的。

不确定性原理

一本量子力学教科书,往往从光的波粒二象性开始,或者从黑体辐射开始。但不论从何开始,都是想让学生明白光既是波动也是粒子,世界上所有的基本粒子,甚至所有物体,都有波动和粒子的双重性。

《三体》三部曲中多次提到与量子相关的话题,智子直接涉及量子通信,后面将专章讨论。

除了智子的通信方式,《三体I》一书第一次涉及量子力学的地方是智子的航行方式:

科学执政官说元首,智子一号和二号将飞向地球,凭借着存贮在微观电路中庞大的知识库,智子对空间的性质了如指掌,它们可以从真空中汲取能量,在极短的时间内变成高能粒子,以接近光速的速度航行。这看起来违反能量守恒定律,智子是从真空结构中‘借’得能量,但归还遥遥无期,要等到质子衰变之时,而那时离宇宙末日也不远了。”

智子利用从真空借来的能量加速,这可以做到吗?

这就涉及不确定性原理。能量是守恒的,我们从经典物理中学到这个重要定律,我们也在量子力学中学到这个重要定律。但是,在量子力学中,能量守恒需要一个前提,就是测量能量的时间几乎无限长。比如,两个粒子碰撞,在碰撞之前,我们分别用极长的时间测量每个粒子的能量,在碰撞之后,我们还用极长的时间测量两个粒子碰撞的结果,我们就会得出能量守恒的结论:尽管单个粒子的能量变了,两个粒子的总能量不变。在高能粒子碰撞中,还会出现新的情况,就是碰撞之后出现的粒子和碰撞之前的粒子完全不同,比如说一对正电子和负电子碰撞,结果往往是两个光子,在这个新情况下,能量还是守恒的,也就是说两个光子的总能量等于碰撞之前的正电子和负电子的总能量。

但是,能量守恒在量子力学中不是绝对的。如果我们用较短的时间来测量粒子的能量,我们就会发现,所得的能量真的不守恒,而且,每次测量的结果会不同。量子力学的不确定性原理告诉我们,测量的时间越短,能量的差别就越大。

刘慈欣的智子应该就是利用这个不确定性原理从真空借能量的。但是,真空能量为零,被借了能量之后,真空能量还是为零,可见智子在借能量的过程中,能量不守恒了。但智子必须很快将能量还给真空,借的能量越多,还的时间越短,这样,《三体I》一书说“归还遥遥无期”就不成立了。

海森堡在发现量子力学之后才发现不确定性原理。量子力学的发现真是一个想象力的飞跃,我们在这里不讨论量子力学的严格形式。量子力学虽然是一个完美的物理的数学描述,但在发现之时,物理学家们并没有认识到这一点,爱因斯坦甚至认为量子力学作为自然理论是不完备的,也就是说是需要补充的,这和量子力学在解释上极其困难有关。时至今日,绝大多数物理学家还是表示难以理解量子力学,但几乎所有受到良好训练的物理学家都会应用量子力学。

发现量子力学的那些人转向量子力学的哲学解释就很自然了,他们首先想捍卫量子力学的完整性,其次是为了回答爱因斯坦以及量子力学的另一个发现者薛定谔的质疑。为此,玻尔和海森堡紧张地进行讨论。讨论的结果是可喜的,玻尔发现了互补原理,海森堡发现了测不准原理,但讨论的结果也是有点悲剧的,因为玻尔和海森堡就谁的解释更合理发生了不愉快的争论。

以今天的目光看,波粒二象性依然是个流行的名词,玻尔的互补原理的生命力远远不如海森堡的不确定性原理。光子当然是粒子,不是波,只有大量的处于同样状态的粒子被测量时,波才会出现。每次测量单个光子时,它肯定是粒子,不是波。只是,每次的测量你会获得不确定的结果,使得你感到光子是一个诡异的粒子。而大量的遵循不确定性原理的光子在一起的时候,你就看到了波。

下面我们就用两个关于光子的实验来解释不确定性原理。

图6-1单缝实验

先看所谓单缝实验(如图6-1所示)。我们在光源的前面放一个带有一条狭缝的屏幕,光子只能从这个狭缝通过。在狭缝前面再放一个荧光屏,光子打在什么地方,什么地方就会发光。实验的结果是,每次通过狭缝的光子打在屏幕上的位置并不固定,但会形成一个以狭缝正前方为峰的分布。

假定光源与狭缝完全平行,也就说,光子在通过狭缝之前,运动方向几乎是确定的,即它有一个几乎固定方向的速度,或者几乎固定方向的动量。

现在问题出现了,光子在通过狭缝之后,在荧光屏上出现的位置不确定,可能在正前方出现,也可能略微偏上或略微偏下。如果我们定义峰的宽度为出现的频率下降到一半的地方,我们就会想,峰的宽度与狭缝的宽度正相关。

现在,一个离奇的情况出现了,狭缝越窄,峰的宽度就越大,这和我们的直觉完全相反(如图6-2所示)。按理说,狭缝越窄,光子的方向性就越好,峰的宽度就越小。为什么如此反常?到底发生了什么?

图6-2狭缝越窄,光子通过狭缝后的分布范围就越大,位置越不确定。

在做实验的过程中,我们改变狭缝的宽度,就会发现一个有趣的结果,狭缝的宽度与峰的宽度的乘积是一个常数!我们用海森堡不确定性原理来解释这个现象。当狭缝变宽时,光子在平行于屏幕方向上的动量的不确定性变大,从而,它在平行这个方向上的位置的不确定性变小,变大和变小的乘积不变。

从上面这个反直觉的实验结果中,我们已经感受到了量子力学的诡异。下面这个双缝实验,会让我们觉得量子力学更加诡异。

现在,在光源前面,我们放置一个带有两个狭缝的屏幕,在屏幕后面同样放置一个荧光屏(如图6-3所示)。

图6-3双缝实验

如果我们关闭双缝中的任何一条缝,我们都会得到类似前面那个单缝实验的结果。单个光子的重复实验的结果,是得到一个峰,峰的位置与狭缝有关,处于狭缝和光源的连线上。不过,我们不再关心峰的宽度与狭缝宽度的关系,这巳经做过实验了。

我们已经知道光子是粒子(每次释放单个光子时,我们在荧光屏上只看到一个亮点),所以,我们会预测,将双缝同时打开时,我们会在荧光屏上看到两个峰,一个峰在光源与一个缝的连线上,另一个峰出现在光源与另一个缝的连线上。可是,实验的结果不是我们预计的,我们会看到很多不同的峰,在预计的两个峰之外,还有很多其他峰。另外,我们还会发现,每个峰的宽度变小了(如图6-4所示)。

太诡异了!到底发生了什么?单个峰的宽度变小比较好解释。如果我们假设光子可以既通过第一个缝,又可以通过第二个缝,那么它在平行于屏幕方向上的动量就变得更加不确定了,而在荧光屏上的位置则会变得更确定,但这是针对某个固定的峰来说。不确定性原理只是一个量子力学的解释,它本身不足以取代量子力学,为了解释很多峰的出现,我们还需要回到量子力学本身。量子力学告诉我们,光子有一个波函数,波函数在空间某个位置取值的平方决定光子在那个位置出现的概率。当双缝同时打开时,光子的波函数在两个缝那里形成两个波源,两个波源同时发射会在荧光屏上形成干涉,干涉条纹有很多个。这个性质完全是波的叠加性,而且波函数(不是概率)表现为线性叠加。

图6-4双缝实验的结果有违“常识”。在量子力学中,同时打开两个缝实验的结果并不等于将分别打开左缝和右缝的实验结果直接叠加,而是要先将二者的波函数线性叠加后再计算结果。

在双缝实验中,不确定性原理依然成立。当两条缝之间的距离变大时,光子在平行于屏幕方向上的动量更加不确定了,实验表明,即使荧光屏上依然出现很多峰,但每个峰的宽度会变小。

更多的不确定

前面我们用单缝实验和双缝实验来探测光子的本质,我们发现,光子虽然是粒子,但不是经典物理学中的粒子,它不遵循固定的路径或轨道,多个粒子实验的结果表明它的行为更像波,遵循不确定性原理,遵循波的叠加性。

随着对光子实验的深人研究,我们还会发现更多的不确定性。让我们回到《三体I》一书中智子对真空借用能量的例子,来看能量的不确定性。

首先,我们要弄清楚在实验过程中,我们是如何测量能量的。我们从测量最简单的粒子——光子的能量开始。光子的能量有一个重要公式,是爱因斯坦给出的,就是说,一个光子的能量与它的频率成正比,这个正比系数是一个常数,就是普朗克常数。

爱因斯坦是从著名的光电效应看出这个公式的。物理学家发现,将一束光打在某些物质上,会产生电流,而组成电流的是电子。物理学家通过测量电流来测量电子的能量,结果发现,电子的能量大小与光的强度无关,而与光的频率有关。光的频率越高,打出来的电子能量越高。用爱因斯坦公式,光电效应得到了完美的解释。

这样,我们就有了测量光子能量的办法。最简单的就是测量光子的频率,测量光子的频率有很多种方式,最常用的就是频谱仪。我们这里不需要涉及具体的频谱仪就能得到能量的不确定性公式。假如,一个光子的频率是一赫兹(理想化的情况,因为这样的光子能量太低了),也就是说,这个光子在一秒钟内只振荡一次,要测准一赫兹,我们至少要花一秒的时间,当然,如果我们花两秒,则更加能够测准这个频率,因为光振荡了两次,如果用三秒时间来测量,光振荡了三次,误差就更小。用r来代表测量频率的时间,用v来代表光子的频率,我们知道,时间越长,频率测量的精度就会越好,比如说,我们用一秒来测量这个频率,精度就会达的到一赫兹,如果用两秒来测量,那么误差在每两秒振荡一次的频率就能测量出来,也就是二分之一赫兹。这样,我们就得到公式ΔvT~1。这个公式不过反映了频率的定义,它告诉我们,如果测量的时间无限长,那么频率就会测量得无限精确。

接下来,我们用爱因斯坦公式就能得到著名的不确定性关系了,光子的能量测量的精度乘以测量所花的时间T,不小于普朗克常数:ΔET~h。这里,普朗克常数是一个极小极小的量,因此,上面的公式对宏观物体完全可以忽略。

光子的能量与时间之间不确定性关系可以推广到任何粒子。一个直接的推广是电子,因为电子辐射光子,很多测量电子能量的仪器就是利用电子辐射光子的这一特点来测量电子能量的,因此,如果光子的能量有不确定性,电子的能量就同样具有不确定性,不确定性关系也是由上一个公式给出来的。

能量与时间的不确定性关系有着比测量更广泛的应用,应用之一就是,能量守恒,原则上在无限长时间内成立。所以,智子可以从真空涨落中借取能量,但必须马上归还。还有一个应用就是,真空中不断有粒子与其反粒子成对地出现,但很快就消失,出现的时间与这对粒子的能量成反比。

在上一节中,我们用单缝衍射解释了位置和动量之间的不确定性关系,现在,我们用爱因斯坦的另一个公式来导出这个不确定性关系。爱因斯坦为了解释光电效应,不仅假设了光子的能量与频率成正比,同时假设了光子的动量与波长成反比。在经典力学中,我们知道,每一个粒子除了能量之外还带有动量,动量在没有外力的作用下也是守恒的。如果有外力呢?那么动量在单位时间里的变化就等于外力,这是动量最初的定义。

有了爱因斯坦的动量公式,我们就可以推导出光子的位置与动量之间的不确定关系。假设我们能够严格地确定光子的位置,这说明这个光子不可能有任何波动特征,也就是说,它的波长λ必须无限短。根据爱因斯坦公式,它的动量p的不确定性就变成无限大。对于具有一定波长的光子,它的位置的最好精度就是这个波长,即Δx=λ。现在,既然p=h/λ,而Δx=λ,我们就有Δxp~h,这是位置和动量不确定性公式。在实际应用中,我们其实应该将动量P变成动量的不确定度Δp,这里不再深入研究了。

光子的不确定性也导致电子的不确定性。在电子显微镜中,我们是用光来测量电子的位置的,这样,电子位置的不确定性不能小于光子的波长,但光子照射在电子之上,导致电子动量的不确定性,这个不确定性等于光子的动量,这样我们就会推导出和上一节完全一样的不确定性关系,不过,现在的不确定性是电子的位置和动量。

量子论中的任何不确定性都是普适的,所有粒子都满足同样的不确定性公式,在涉及测量能量和测量时间时是如此,涉及位置和动量时也是如此。

基本粒子除了动量、能量外,还有一个新的特征:每一个粒子都有本征角动量,与如何选择坐标系无关,称为自旋。这很像一个陀螺,只要它在旋转,不论在什么参照系中它都在旋转。

自旋的不确定性比较特殊,因为角动量的不确定性比较特殊。测量能量,我们需要时间;测量动量,我们需要空间。要测准能量和动量,请给我足够的时间和空间。那么,如何测准角动量?这当然和角度有关。角动量的不确定性与角度的不确定形成一对关系,同样,自旋的不确定性也与角度的不确定有关。奇怪的是,角动量在不同方向上的投影之间也形成不确定性关系,这是我们不容易直观想象的。我们将在后面的一章中讨论电子自旋的不确定性。

不确定的世界

100多年前,物理学家证实了分子、原子的存在,之后,又陆续发现了组成分子和原子的更加基本的粒子——电子、质子以及中子。在过去的100多年间,物理学家发现了很多类似电子、光子的基本粒子,如夸克、中微子和缪子。所有这些基本粒子都满足不确定性原理。

开始的时候,人们以为不确定性与我们使用的观测方式有关,后来,随着研究的深入,人们慢慢认识到,这个世界本来就是不确定的,不确定性是基本粒子自身的特性。

例如我们前面讨论的电子,即使我们不去观测它,它也不可能同时具备确定的位置和动量,假如它同时具备了确定的位置和动量,物理学家就会设计一个实验,同时测准它的位置和动量。但物理学家做了无数次实验,发现这从数学上就是不可能的。(这些实验涉及的贝尔不等式,我们同样将讨论延后到后面的某一章。)

其实,量子力学可以将不确定性原理推广到所有物体。基本粒子满足不确定性原理,一块石头也满足,甚至太阳和地球都满足。只不过石头、太阳和地球太大,以至于不确定性变得很小。我们可以定义任何一个宏观物体的位置是它的重心位置。我们可以很容易证明,由于宏观物体的质量太大,任何微小的速度不确定性都会导致很大的动量不确定性,而不确定性公式告诉我们,它的位置不确定性就会很小很小,比一个原子的尺度还要小得多。

不确定性原理除了告诉我们世界在微观上是不确定的,没有所谓的严格决定论,没有严格的因果律之外,也会让我们觉得,非决定论只在微观世.界成立,宏观世界完全是确定的,就像我们在日常生活中感受到的那样。

如果你真这么想,那么你和100年前的科学家一样大错特错。下面,我们回到上一章中的宇宙学,以宇宙的开端为例,说明宇宙在最宏观的尺度上也是不确定的。

为了理解宇宙学的例子,先让我从一个“日常”的例子开始。

智子原则上可以从真空借得能量,这是因为真空每时每刻都有涨落,不时在这里和那里冒出成对的粒子,但这些粒子不可能存在很长时间,这和它们的能量有关,越重的粒子,存在的时间就越短,这是前面讨论的能量时间不确定性关系告诉我们的。我们以电子为例,它的质量大约是10 -30 千克,但电子不可能单独在真空中出现。因为电荷是严格守恒的,所以,至少要有一个正电子伴随一个电子出现。这样,它们的能量至少是2x10 -30 千克乘以光速的平方,用电子伏特(一个电子电荷在一伏特的电势差中得到的能量)为单位,这个能量是10 6 电子伏特。因为普朗克常数的数值是6.6x10 -16 电子伏特秒,我们由不确定性关系得到,这对正负电子存活的时间比10 -22 秒稍长些。

我们平时不可能注意到这么短的时间,因此我们也不可能看到正负电子在真空中出没。

不过,如果我们在真空中加上一个电场,情况就不一样了。首先,电场含有能量,它会将能量直接交给正负电子,这样,不确定性原理就不适用了,因为正负电子没有破坏能量守恒。情况很简单,当正负电子在真空中出现时,电场对它们产生方向相反的力,强行将它们拉开。这样,这对正负电子先靠量子涨落,后靠从电场中获得能量,成功地产生了。尽管不确定性原理不适用,但正负电子的产生的可能性还是始于不确定性原理。

现在,回到上一章介绍的宇宙暴涨。宇宙在开头的非常短暂的时间中经历了暴涨,宇宙从一个微观空间膨胀到一毫米大小。暴涨期的存在不仅使得宇宙在后来可能成长为一个宏观的宇宙,同时还将真空中能量的量子涨落固定了下来。

驱动宇宙暴涨的是一种能量场,这个场本身当然也会像电子一样在真空中不停地涨落。如果空间不膨胀,能量不确定性原理就成立,涨出来的能量和落下去的能量都会回到零点。可是,当空间迅速膨胀时,这些涨落就像正负电子在电场中一样也获得了驱动,使得它们不会回到零点。

这些涨落的幅度并不大,甚至可以说很低,只有不到十万分之一大小。

但是,宇宙在后来漫长的演化中通过万有引力将这些涨落放大,并成功地形成恒星和星系。是的,恒星和星系这些巨大的天体居然起源于量子涨落,起源于不确定性。正因为如此,我们只能预言恒星和星系的分布概率,不能确切地说某颗恒星一定出现在某个地方。

太阳系不过是众多恒星系之一。因此,太阳、地球、我们人类,都是宇宙在第一个瞬间量子涨落的结果。

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