第7章 实在性，诡异的“超距作用”和贝尔不等式
智子是《三体》三部曲中的一个重要“角色”，它是三体人制造出来的随时可以展开成包围地球的大网的微观粒子，有时也会变身成一个不大不小的球状体和地球人沟通。后来，一个智子还化身成一个美丽的日本女-人。
智子除了可以做低维展开外，明显是一台可以完成量子通信的机器。在三体文明那边，还有对应的一个智子，那个智子和地球这边的智子构成一个量子纠缠态。这样，如果这边的智子看到了什么，那边的智子也会看到相同的东西。有趣的是，刘慈欣假定，那边的智子不仅看到了什么，同时还可以将这个信息交给三体人。这样，瞬时量子通信就完成了。
瞬时量子通信是允许的吗？
我们暂时不回答这个问题，也不打算很快解释量子通信原理。因为，我们首先要了解什么是量子纠缠，什么是量子纠缠中涉及的“超距作用”以及贝尔不等式的实验如何证明了量子力学，排除了所谓“局域现实”（这是local reality的翻译，如果不喜欢，可以翻译成“局域客体”）。
在谈这些问题之前，我提醒读者，后面括弧中的文字和公式，初读时可以忽略，如果对细节不感兴趣，干脆彻底忽略亦可。
不确定性原理
基本粒子的测不准原理或不确定性原理是海森堡首先发现的，这在概念上极大地破坏了我们从日常经验总结出来的规律。例如，我们投掷出一块石头，石头会画出一个清晰的轨道。如果我们忽略石头的大小，那么我们只要知道石头在每一个时刻的位置就行了，这是我们需要掌握的石头的全部信息。
要了解什么是不确定性原理，我们还需要进一步知道在牛顿体系中如何描述石头在给定某个时刻的状态。前面说到，在一段时间内，我们可以知道石头在这段时间内每一时刻的位置。通过这个轨道知识，我们还可以计算出石头在每一个时刻的速度（用下一时刻的位置减去现在的位置，除以时间间隔），还可以进一步计算加速度，等等。但是在力学中，在某一个瞬间，仅仅知道石头的位置还不够，因为我们推不出它在下一个时刻的位置，这样，我们还需要知道石头的速度。牛顿告诉我们，石头的位置和速度组成了石头在这个时刻的状态，我们不需要知道更多，据此我们不仅可以计算出下一时刻石头的位置，通过牛顿定律，我们还可以计算出石头在今后所有时刻的位置。
海森堡通过对原子中的电子的研究发现，电子轨道的概念和实验现象完全矛盾。进一步，电子的状态即位置和速度这个概念也与实验矛盾。他说，原则上，如果我测准了电子的位置，那么电子的速度就处于极大不确定状态。这就是所谓不确定性原理。这个原理告诉我们，通过对电子在某个瞬间的测量，我们完全无法预言它在下一个瞬间的位置，更不用说状态（牛顿的状态概念完全错了）。
虽然海森堡用了电子的位置和速度来说明不确定性原理，但我们发现，用电子的自旋来说明不确定性原理最为简单。另外，后面我们要提到的“爱菠萝”悖论（EPR=Einstein-Podolsky-Rosen悖论）以及贝尔不等式，用电子自旋来说明也更为简单。
从现在起我们暂时忘记电子的位置和速度，只关心电子的自旋。电子确实有自旋，这是在1925年发现的。自旋角动量是普朗克常数的一半。为简单起见，我们忽略这个常数，就说电子的自旋是1/2。而且，泡利、乌伦贝克和古德斯密特等人发现，电子的自旋态的自由度只有两个，没有更多。电子自旋态只有两个自由度这个事实，加上量子力学的态叠加原理，使得我们不得不承认电子的自旋也有不确定性。
不论电子起初处于什么样的自旋状态，假定我们在向上的那个轴z的方向测量电子的自旋，只有两个可能的结果，向上自旋↑，或向下自旋↓，图7-1是一个向上自旋的态。回到电子最初的状态，假定我们一开始并没有在向上的轴z的方向测量电子自旋，而是沿着水平轴x方向测量，那么我们还是只能得到两个可能的结果，分别是与x轴的方向平行的自旋，或与x轴的方向反平行的自旋，即→态，或←态。假定我们既没有沿着z轴，也没有沿着x轴，而是沿着y轴测量当初电子的自旋，结果也是类似的。所以，沿着任何一个方向测量任何一个电子的自旋状态，最多只有两个可能的结果，这就说明电子自旋态只有两个自由度。
图7-1电子的向上自旋态
假如电子处于向上自旋↑的状态，此时在z轴上测量它们的自旋，得到的结果一定是向上自旋↑的状态。假如电子处于向下自旋↓的状态，此时在z轴上测量它们的自旋，得到的结果一定是向下自旋↓的状态。假如电子处于除以上两种情况以外的别的状态，那么在z轴上的测量结果是一定概率得到向上自旋↑，一定概率得到向下自旋↓。这个时候，我们就说电子的自旋状态等于向上自旋↑和向下自旋↓的“线性叠加态”。
我们接着问，假定我们先沿着z轴测量的电子自旋后，已经得到电子处于向上自旋↑（或向下自旋↓）的状态，然后再沿着x轴测量的电子自旋，我们可能得到什么值？答案：可能得到两个结果，分别是与x轴平行的沿x轴正方向的自旋，或与x轴平行沿x轴反方向的自旋，即→态，或←态，每次测量的结果只给出其中一个态，不会两个态共存，而且得到两个结果的概率分别是1/2。也就是说，如果我们测量很多次，得到态→的结果大约占一半，得到←态的结果也大约占一半，测量的次数越多，概率的预测越准确。根据前面说的“电子自旋状态只有两个自由度”和“线性叠加态”，我们可以认为电子向上自旋↑（或向下自旋↓）的状态，分别是→态和←态的一种“线性叠加态”。反过来，如果我们先确定电子处于→态（或←态），然后在z轴测量它的自旋，也会发现→态（或←态）分别是向上自旋↑（或向下自旋↓）的“线性叠加态”。当你在确定电子在某个方向上的自旋之后，它在其他方向上的自旋就是不确定的，此刻它一定处于其他方向上的两个不同状态的“线性叠加态”。
以上，就是测不准原理：不可能在两个不同的方向同时测准电子的自旋角动量。这是一个实验结果。
现在我们来看看，用量子力学的线性叠加原理，如何“推导”出以上的实验结果。这个推导说明，量子力学的线性叠加原理与实验吻合。
既然我们说了，自旋只有两个态，用沿着z轴的自旋来分，就是A（↑）和A（↓）。这里，A没有什么特殊的神秘含义，我们只是用它来标记电子的态。
由于自旋的概念与方向的取向无关（否则我们需要解释z轴在我们宇宙中的特殊位置），所以，也应该存在A（→）和A（←）两个态。根据量子力学的法则，这后两个态分别是前两个态的线性叠加。倒过来，前两个态也可以写成后两个态的线性叠加，例如，我们应该有A（↑）=aA（→）+bA（←），这里a和b是两个数（原则上是复数）。
现在我们知道了，向上自旋这个态A（↑）其实蕴含着沿着x轴自旋的态以及反向沿着x轴自旋的态。由于x轴以及它的反方向对于A（↑）来说是对称的，我们自然期待，当我们对A（↑）态做x轴方向上自旋的测量时，应该获得等概率的结果。这个推论恰好就是实验结果。
我们看到，量子论要求态的完备性以及线性叠加，这告诉我们，测不准是一个逻辑推论，我们没有其他选择。
在公式A（↑）=aA（→）+bA（←）中，量子力学还要求|a| 2 是测到沿着x轴方向自旋的概率，|b| 2 是反着x轴方向的概率。由于概率之和必须为1，所以|a| 2 +|b| 2 =l。
其实，我们随意选择一个轴w，其与z的夹角任意，记沿着W轴方向的自旋为w（↑），与之相反的自旋为w（↓），则有→就可以写作x（↑），←可以写作x（↓）。态A（w↑）和A（w↓）也可以写成A（↑）和A（↓）的线性叠加。
上面的实验还可以这样安排：考虑到一个装置辐射出不是向上自旋的粒子，就是向下自旋的粒子，我们可以在这些粒子飞行的途中放一个偏振片，例如，只有向上自旋的粒子才能通过。在这个偏振片后再放上第二个偏振片，这个偏振片选择自旋的方向与前一个自旋方向的夹角可以任意，例如90°，则通过第二个偏振片的电子只有一半，如下页图7-2所示。
图7-2
我们进一步问，如果对自旋态A（↑）在与z轴夹角为45°方向上测自旋，得到自旋为↗的态（与↑的角度为45°）的概率是多少？得到反方向自旋态↙的概率是多少？
答案是：得到↗态的概率大约是0.85，得到↙的概率大约是0.15。0.15这个数将要出现在贝尔不等式的实验测量中。
换句话说，通过第二个偏振片的电子有85%。
我们解释一下上面的数字是怎么来的。
前面我们讨论，在w方向测量电子自旋，获得的态也是A（↑）和A（↓）的线性叠加。或者反过来，我们有A（↑）=aA（w↑）+bA（w↓），其中数字a和b待定。
假设w与z的夹角是θ，用符号/来代表自旋，那么直觉告诉我们，我们应该有/（w）=cosθ/（z）+sinθ/（x），这里我们假设w在（zx）平面内，虽然这个假设不必要。根据量子力学原理，在A（↑）中，/（z）的平均值是1/2，而/（x）的平均值是0。所以/（w）的平均值就是cosθ/2，这是前面的角动量线性关系的简单结论。由于|a| 2 是自旋为w↑的概率，|b| 2 是自旋为w↓的概率，所以1/2（|a| 2 -|b| 2 ）=cosθ/2。由概率之和（|a| 2 +|b| 2 ）为1以及上式我们推得，|a| 2 =（1+cosθ）/2，|b| 2 =（1-cosθ）/2。
用θ=45°代入，我们得|a| 2 =0.85，|b| 2 =0.15。
到此为止，我们已经知道了电子自旋的特征是不确定的，这和经典陀螺完全不一样，后者在选好一个自转的方向后，在任何别的角度测量角动量，其值是固定的，就是角动量在这个方向上的投影。电子自旋的不确定性的主要来源是，它的态是有限的，并且任何一个态是有限多个态的叠加。
自旋的不确定性显得很奇怪，它的另一个特征更加奇怪，这就是爱因斯坦很早就注意到的诡异的“超距作用”，爱因斯坦和他的两位助手发表于1935年的文章用数学方式明确指出这个特征，现在叫“爱菠萝”悖论。
“爱菠萝”悖论
这个悖论用电子自旋来表述最简单、最清楚。
我们可以制备许多纠缠在一起的电子对，其中每一对电子的总自旋等于0。考虑一对固定的电子A和B，它们的总自旋为0。在制备出这对电子之后，将两个电子分开，比如说，为了不影响这对电子的总自旋，我们可以假设电子对在制备出来之后，从制备仪器飞出，一个飞向北京，一个飞向南京。
前面我们说过，单个电子自旋的测不准是这样的：如果我在Z轴方向测准了它的自旋，那么在垂直的方向测量就会有两种可能的结果。
爱菠萝说，等一会儿，让我们制备出一对总自旋为0的电子，看看我们能做什么？
现在，小涟在北京测A粒子沿着z轴方向的自旋，我们假定得到了向上的结果。由于两个电子的总自旋为0，那么，在南京的小清就可以肯定，她手中的电子B在z轴方向的自旋向下。接着，小清测电子B在x轴方向上的自旋，获得一个结果，这样小清就同时知道了电子B在z轴和x轴方向上的自旋。同理，小涟通过完全相同的推理，也知道了电子在x轴和z轴方向上的自旋。这样，两个电子在两个互相垂直方向上的自旋不是同时测准了吗？
以上结果不是和我们前面讨论的量子力学不确定原理相矛盾吗？这就是爱菠萝悖论。
那么，量子力学错了吗？没有。请看下面的讨论。
我们知道，每个电子的态只有两个，比如，选择z轴，A电子有两个态A（↑）和A（↓），B电子也有两个态B（↑）和B（↓）。将两个电子加在一起，一共可以有四个态：两个电子自旋都向上，或两个电子自旋都向下，或一个向上一个向下（这样也有两个态）。
现在考虑两个电子的总自旋为0，所以，电子可能的态是aA（↑）B（↓）+bA（↓）B（↑），其中a和b是两个数。这种态叫纠缠态。
在爱菠萝实验中，小涟对电子A做了测量，测量的结果是向上自旋。因此，在小涟测量后，两个纠缠在一起的电子态就“塌缩”成A（↑）B（↓），所以，小清手里的电子B的态一定是B（↓）。如果小清对电子B做在x轴方向上测量，根据我们在第一节里的讨论，可以获得两个可能的结果，但在测量后，电子B不再处于B（↓）态中。
所以，小清不能说她的粒子在z轴和x轴方向上都有固定的自旋。当然，小涟手中的电子A还处于A（↑）态，因为他没有对这个电子作进一步测量。
爱菠萝悖论的出现是假定了小清对电子B在x轴方向测量不影响这个电子在z轴方向上的自旋。爱菠萝得到一个结果，量子力学得到另一个结果，到底哪个正确？
贝尔（Bell）不等式
为什么爱菠萝能够推出悖论？贝尔在20世纪60年代思考了很久，他
想弄清爱菠萝到底作了哪些假定，从而得到与量子力学矛盾的结果？在爱菠萝的论证中，我们可以看到有两个假设：
1.电子对的总自旋为0，对其中一个测量就能推出另一个电子的结果。
2.第二步，对第二个电子做测量。此时假设在x轴方向上的总自旋也为0——这是因为第一步测量没有影响第二个电子，这个假设是错误的。事实上，在量子力学中，第一步测量已经让第二个电子自动跳到自旋在z轴上有固定值的一个态。
当然，我们在断定2有错的时候，隐秘地用了量子力学。爱菠萝没有用到任何量子力学，所以他们一定是用了别的假设。是什么假设呢？1和2都假设了电子自旋这个物理变量的“实在性”，就是说，不论我们测量还是不测量，总自旋为0应该是一个实在。另外，两个实验者由于分开的距离足够大，彼此的测量不会影响到对方手中的粒子。比如说，小涟在z轴方向上测量电子人得到一个结果，但他的测量不影响电子B，所以小清对这个电子在x轴方向上的测量与电子B在z轴上的取值无关。另外，假设了通常的逻辑没有错。
爱因斯坦知道他们的悖论与量子力学矛盾的核心问题在什么地方：量子力学中含有诡异的“超距作用”。
要用实验区分到底是爱菠萝正确还是量子力学正确，就需要一个公式，这个公式就是贝尔不等式，它是贝尔对量子力学基础的最大贡献。
爱菠萝设计的实验巧妙地逃开了不确定性原理：既然我们不能同时测准一个电子的两个互为垂直的自旋分量，那么我们用两个相距很远的实验来做。他们的思想实验暗含了一个假设：测不准是实验的局限造成的，不是粒子自旋本身的属性。
我们一般相信，任何物体都有实在性。比如说，微博上网友的真实身份是一种实在性，性别和年纪也是实在性，身高也是。让我们用a，b，c来代
表这些实在性，a可以是性别，b可以是年纪，c可以是身高。
令N（a，b，c）表示具有a，b，c特点的网友的数目，比如说N（男，年纪不小于30岁，身高不小于165厘米）。很明显，我们会承认这个数字是存在的。同样，N（a，b）也存在，这个数字没有限制性质c，如N（男，年纪不小于30岁）。类似的，N（a，b，非c）也存在。如果身高不小于165厘米，那么非身高小于165厘米。同理，如果a=男，那么非a=女。
贝尔不等式是下面这个简单的不等式：
N（a，非b）+N（b，非c）≧N（a，非c）
用上面那个例子，这个不等式就是：
N（男，年纪小于30岁）+N（年纪不小于30岁，身高小于165厘米）≧N（男，身高小于165厘米）
即使在这个例子中，不等式成立也不是十分明显。所以，让我们证明一下。证明其实很简单，在证明过程中，我们也会看到，贝尔不等式成立的条件中有哪些我们公认的假设。
我们拆分不等式中的三个数：
N（a，非b）=N（a，非b，c）+N（a，非b，非c）
N（b，非c）=N（a，b，非c）+N（非a，b，非c）
N（a，非c）=N（a，非c）+N（a，非b，非c）
到目前为止，我们做了假设：1.对于给定的三个性质，对象存在；2.排中律，一个对象具备a性质，或具备非a性质。
将前两个拆分加起来：
N（a，非b）+N（b，非c）=N（a，非b，c）+N（a，非b，非c）+N（a，b，非c）+N（非a，b，非c）
=[N（a，非b，非c）+W（a，b，非c）]+N（a，非b，c）+N（非a，b，非c）≧N（a，非c）
上式第二行中前两个数字加起来就是最后一行的数字。这样，我们证明了贝尔不等式。
这个不等式还可以更加直观地用图7-3来证明。
图7-3
此外，你还可以检查任何一个人群的集合，看看下面这个不等式是否成立
N（男，年纪小于30岁）+N（年纪大于30岁，身高小于165厘米）≧N（男，身高小于165厘米）
现在，我们将贝尔不等式应用在一组电子上。取：a=↑，b=↗，c=→，我们有：
N（↑，非↗）+N（↗，非→）≧N（↑，非→）
因为电子在一个方向上的自旋只有两种可能，所以：非↗=↙，非→=←，上面不等式就是：
N（↑，↙）+N（↙，←）≧N（↑←）
但是，我们现在还不能直接将这个不等式用在实验中，因为作为观测者，我们不能同时测准一个电子在两个不同方向上的自旋。
这时，我们就需要用到爱菠萝实验。制备一组电子对，其中每对电子的总自旋等于0，让这组电子对自行飞到两个相距很远的地方，如图7-4。小涟在右边测量电子，小清在左边测量电子。例如，下图的测量就是让右边的电子自旋向上地通过，这些电子在45°方向的自旋未知。但是通过小清在左手的测量，右边的电子在45°方向的自旋与小清相反，所以具有自旋↙。这样，小涟和小清测量到的电子数目就是N（右手↑，左手↗）。
图7-4
在这个实验中，贝尔不等式就是：
N（右手↑，左手↗）+N（右手↗，左手→）≧N（右手↑，左手→）可是，1972年以来物理学家做的全部贝尔实验，上面的不等式全部被破坏！
其实我们也知道，通过量子力学的计算，N（右手↑，左手↗）=大约15%的所有右手自旋↑电子数，N（右手↗，左手→池是这个数目，而N（右手↑，左手→）=大约50%的所有右手自旋↑电子数。两个15%加起来是30%，当然小于50%。
所以，贝尔实验中破坏不等式的结果其实是验证了量子力学。
现在我们回顾一下，在证明贝尔不等式的过程中，我们用了什么假设：
1.逻辑成立。
2.电子在两个方向上的自旋存在，尽管我们不去同时测量它们。
3.右手测量和左手测量互相不影响，也就是说，信息传播速度不超过光速。
很难想象第一条错了，那么只有剩余的两条可能出错，即“2.如果我们不去观测粒子的某个性质，它并不存在”或“3.两个相距很远的测量瞬时影响了对方”。
如果爱因斯坦还活着，他会是什么反应？爱因斯坦是相对论的创始人，他不会认为信号传播速度可以任意大，他只好放弃第二条假设。放弃第二条假设就意味着，正如贝尔本人所说，局域隐变量理论是错误的。
因此，对于电子来说，不存在什么隐藏的客观实在。
贝尔实验现在主要是用光子来做的，因为制备成对的纠缠光子相对容易。现在，利用纠缠光子来实现量子通信的实验进展迅速。我们这里不打算介绍这些实验以及原理，只说一句话，量子通信是一种保密通信，与瞬时通信无关。这些实验只是利用了量子力学的重要特征，纠缠以及测量后“波包塌缩”。我们期待，未来的实验可以测量位于地面的光子和位于卫星上的光子的纠缠。
总结一下以上的讨论，在量子论中，神秘的纠缠是存在的，这种神秘的纠缠使得局域的“客观实在”不存在。
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